Estatistica

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INSTITUTO POLITÉCNICO DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA Licenciatura em Finanças Empresariais

Estatística II

Exercícios Propostos − Estimação Pontual e Intervalar

Ano Lectivo 2011/2012

Caderno III – Estimação de Parâmetros

Ano Lectivo 2011/2012

[Exercícios retirados e adaptados da bibliografia: Murteira B., Ribeiro C.S., Silva J.A.,Pimenta C., Introdução à Estatística, 2ª edição McGraw-Hill, 2006; Paulino C., Branco J., Exercícios de Probabilidade e Estatística, Escolar Editora, 2005]

Conteúdo: Estimação pontual e intervalar. Estimadores pontuais e propriedades. Estimação intervalar: intervalos de confiança para o valor médio, proporção e variância.

1. Considere um universo Normal e a estatística T definida da seguinteforma:
X1 2 X 2 2

T

para amostras de dimensão n=2. a) Determine a distribuição amostral de T e os respectivos parâmetros. b) Será T um estimador centrado para ?

2. Com base numa amostra aleatória de dimensão três, X1 , X 2 , X 3 , de uma população com distribuição exponencial, foram propostas as seguintes estatísticas para estimar a média:
T1 X 1 , T2 X1 2 X2 , T3 X1 2 X 2 e T1 3 X.

a)Verifique que todos eles são estimadores não enviesados da média. b) Calcule a eficiência relativa entre os estimadores. de certa população, foram indicados dois estimadores: ˆ 1 e ˆ 2 .

3. Para o parâmetro

Diga qual deles preferiria, sabendo que:
E ˆ1 E ˆ2 n 1 , Var ˆ 1 n n 1 , Var ˆ 2 n k n k n 3

onde k é uma constante.

4. Dois estimadores para o parâmetro

, T1 e T2 , satisfazemas seguintes propriedades:

são não enviesados, são independentes e a variância de T1 é dupla da variância de T2 .
Estatística II (Licenciatura em Finanças Empresariais) − ISCAL

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Caderno III – Estimação de Parâmetros

Ano Lectivo 2011/2012

[Exercícios retirados e adaptados da bibliografia: Murteira B., Ribeiro C.S., Silva J.A., Pimenta C., Introdução à Estatística, 2ª ediçãoMcGraw-Hill, 2006; Paulino C., Branco J., Exercícios de Probabilidade e Estatística, Escolar Editora, 2005]

A partir destes dois estimadores, foi construído um novo estimador para
T
1 1

,

T

2 2

T. e

Determine o valor das constantes enviesado do parâmetro

1

2

por forma a que T seja um estimador não

e, além disso, tenha a menor variância possível.

5. Seja X uma populaçãocaracterizada pelo parâmetro aleatória, foi proposto o seguinte estimador para
n

. Com base numa amostra

:

ˆ

X i3 2 n

i 1

a) Sabendo que X 3 2 tem distribuição exponencial de média do estimador. b) Analise o estimador proposto quanto à consistência.

, estude o enviesamento

6. São propostos os seguintes estimadores para a variância de uma população Normal:
n 2 n 2

XiT1
i 1

X

Xi e T2
i 1

X

n

n 1
2

a) Mostre que T1 não é um estimador centrado para b) Mostre que T2 é um estimador não enviesado para c) Obtenha uma estimativa para

. Calcule o seu enviesamento.
2

.

, a partir de 117 observações de X, sabendo que as

mesmas observações apresentam valores tais que
117 117

xi
i 1

15 e
i 1

xi2

801.

7. Considere umapopulação com distribuição Normal de desvio padrão

=20 u.m.

Seleccionada uma amostra aleatória de dimensão 20, obteve-se um a média amostral de
x =320 u.m.

Estatística II (Licenciatura em Finanças Empresariais) − ISCAL

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Caderno III – Estimação de Parâmetros

Ano Lectivo 2011/2012

[Exercícios retirados e adaptados da bibliografia: Murteira B., Ribeiro C.S., Silva J.A., PimentaC., Introdução à Estatística, 2ª edição McGraw-Hill, 2006; Paulino C., Branco J., Exercícios de Probabilidade e Estatística, Escolar Editora, 2005]

a) Construa um intervalo de confiança a 90% para a média da população. b) Qual deve ser o tamanho da amostra de forma a que a amplitude do correspondente intervalo de confiança a 90% para a média seja de 1u.m? e 5u.m? Comente.

8. Com base numa...
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