Estatica das estruturas planas

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ESTÁTICA – DEC 3674

27

3 Estática das estruturas planas
3.1 Cálculo das reações vinculares - apoios
3.1.1 Condições de equilíbrio estático
O equilíbrio estático de uma estrutura bidimensional (a estrutura considerada, as forças sobre
ela aplicadas, as conexões e vínculos estão contidas no plano da figura) é dado por:
Σ FH = 0

Σ FV = 0 e Σ M(i) = 0

Sendo i um ponto qualquer daestrutura.
Veja a figura abaixo.
FH
1,0 m
A

D

C

Σ FH = 0

B

F1
5 kN

RHC
ΣM(i) = 0
F2

10 kN
4,0 m

2,0 m

Σ FV = 0

RVC

Me

Md
C

Σ FH = 0

Não existem forças horizontais aplicadas, portanto RHC = 0.

Σ FV = 0

As forças verticais atuantes são FA = 5 kN e FB = 10 kN, portanto RVC = 15 kN

Σ M(i) = 0
Para qualquer ponto da estrutura, os momentos aesquerda e à direita deste ponto, deverão ser
de mesma intensidade e sentidos opostos, i é, sua soma deve ser nula.
Σ M(C) = 0

5 x 4 = 10 x 2

20 (anti-horário) = 20 (horário)

Isto vale para qualquer ponto da estrutura, más, alguns pontos oferecem algumas facilidades,
por exemplo, a somatória dos momentos no ponto C, não considera a reação RVC pois esta
está aplicada no ponto C e portantoseu braço é nulo. O ponto D, ao contrário, considera todas
as forças aplicadas na estrutura.
Σ M(D) = 0

5 x 1 = (10 x 5) – (15 x 3)

5 (anti-horário) = 5 (horário)

ESTÁTICA – DEC 3674

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3.1.2 Cálculo das reações de apoio
Determinar as reações de apoio para as vigas representadas abaixo

P
ℓ/2

A

P
ℓ/2



A

x

A

B

P

B



a)



b)

p

BA

p

B



A
kℓ



d)

e)

B

A

B

a


f)

p1

p

Kℓ

c)

p
A

B

x

P

p2

A

B



A

B



g)

Kℓ



h)

i)

p = 12 kN/m

P = 20 kN

p = 15 kN/m

A

A

B
2,0 m

1,2 m

1,2 m

1,0 m

60º

p = 12 kN/m
B
5,0 m

2,0 m

1,0 m

P = 20 kN

2,0 m
k)

j)

A figura abaixo mostra uma Viga Gerber.São três vigas, sendo que a central é apoiada nas
extremidades dos balanços das outras duas. Como devem ser os apoios E e F? Determine
todas as reações.
p = 12 kN/m

A
1,2 m

B
4,0 m

E
1,2 m

F
3,0 m

C
1,2 m

D
4,0 m

1,2 m

ESTÁTICA – DEC 3674

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3.2 Análise de treliças pelo método dos nós
Nas treliças os nós são articulações perfeitas, sem força de atrito, asforças são aplicadas
apenas nos nós e, as barras transmitem apenas esforços normais. Para o equilíbrio do nó
devem ser satisfeitas as seguintes equações:
Σ Fx = 0
Exemplo 01:

1000

1000

Σ Fy = 0

e
B

B

β

3,0 m

3,0 m

4,243 m

A

RHA

C

A

3,0 m

tg β = 3/3 = 1

tg α = 3/3 = 1

C

3,0 m
RVA

α

RVC

α = β = 45º

sen 45º = cos 45º = 0,7071Reações:
Σ M(A) = 0

0 = RVCx3 - 1000x3

RVC = 1000

Σ Fx = 0

0 = RHA + 1000

RHA = -1000

Σ Fy = 0

0 = RVA + RVC

RVA = -1000

Equilíbrio dos nós

(+) Tração

(-) compressão
1000 N

Nó B
Σ FH = 0 = 1000 + RBC sen β

FBC = -1000 / sen β

Σ FV = 0 = RBA + FBC cos β

B
FBA

β

FBC

FAB = - FBC cos β = 1000 N

FBC = - 1414,2 N

FCB

Nó C
Σ FV = 0 = RVC+ FCB sen α

FCB = - RVA / sen α = -1414,2 N ok!!!!!!

Σ FH = 0 = FCA + FCB cos α

α
FCA

C

FCA = - FBC cos α = 1000 N

Nó A

RVC

RHA

Σ FV = 0 = RVA + FAB

FAB = - RVA = 1000,0 N ok!!!!!!

Σ FH = 0 = RHA + FAC

FAC = - RBA = 1000,0 N ok!!!!!!!

FAB
A

FAC
RVA

ESTÁTICA – DEC 3674

Solução Final

30

1000 N

Observe que foi feito equilíbrio dos

45ºnós. Se a barra é tracionada ela

FBC = FCB = - 1414,2 N
Compressão na barra

FAB = FBA = 1000,0 N
Tração na barra

comprime o nó e vice-versa. Assim,
uma força de tração no nó implica em

45º

uma de tração na barra, com mesma

1000 N
1000 N

intensidade e direção.

FAC = FCA = 1000,0 N
Tração na barra

1000 N

Exemplo 02: Calcular a treliça abaixo
Reações de apoio...
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