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ESTÁTICA – DEC 3674
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3 Estática das estruturas planas
3.1 Cálculo das reações vinculares - apoios
3.1.1 Condições de equilíbrio estático
O equilíbrio estático de uma estrutura bidimensional (a estrutura considerada, as forças sobre
ela aplicadas, as conexões e vínculos estão contidas no plano da figura) é dado por:
Σ FH = 0
Σ FV = 0 e Σ M(i) = 0
Sendo i um ponto qualquer daestrutura.
Veja a figura abaixo.
FH
1,0 m
A
D
C
Σ FH = 0
B
F1
5 kN
RHC
ΣM(i) = 0
F2
10 kN
4,0 m
2,0 m
Σ FV = 0
RVC
Me
Md
C
Σ FH = 0
Não existem forças horizontais aplicadas, portanto RHC = 0.
Σ FV = 0
As forças verticais atuantes são FA = 5 kN e FB = 10 kN, portanto RVC = 15 kN
Σ M(i) = 0
Para qualquer ponto da estrutura, os momentos aesquerda e à direita deste ponto, deverão ser
de mesma intensidade e sentidos opostos, i é, sua soma deve ser nula.
Σ M(C) = 0
5 x 4 = 10 x 2
20 (anti-horário) = 20 (horário)
Isto vale para qualquer ponto da estrutura, más, alguns pontos oferecem algumas facilidades,
por exemplo, a somatória dos momentos no ponto C, não considera a reação RVC pois esta
está aplicada no ponto C e portantoseu braço é nulo. O ponto D, ao contrário, considera todas
as forças aplicadas na estrutura.
Σ M(D) = 0
5 x 1 = (10 x 5) – (15 x 3)
5 (anti-horário) = 5 (horário)
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3.1.2 Cálculo das reações de apoio
Determinar as reações de apoio para as vigas representadas abaixo
P
ℓ/2
A
P
ℓ/2
ℓ
A
x
A
B
P
B
ℓ
a)
ℓ
b)
p
BA
p
B
ℓ
A
kℓ
ℓ
d)
e)
B
A
B
a
ℓ
f)
p1
p
Kℓ
c)
p
A
B
x
P
p2
A
B
ℓ
A
B
ℓ
g)
Kℓ
ℓ
h)
i)
p = 12 kN/m
P = 20 kN
p = 15 kN/m
A
A
B
2,0 m
1,2 m
1,2 m
1,0 m
60º
p = 12 kN/m
B
5,0 m
2,0 m
1,0 m
P = 20 kN
2,0 m
k)
j)
A figura abaixo mostra uma Viga Gerber.São três vigas, sendo que a central é apoiada nas
extremidades dos balanços das outras duas. Como devem ser os apoios E e F? Determine
todas as reações.
p = 12 kN/m
A
1,2 m
B
4,0 m
E
1,2 m
F
3,0 m
C
1,2 m
D
4,0 m
1,2 m
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3.2 Análise de treliças pelo método dos nós
Nas treliças os nós são articulações perfeitas, sem força de atrito, asforças são aplicadas
apenas nos nós e, as barras transmitem apenas esforços normais. Para o equilíbrio do nó
devem ser satisfeitas as seguintes equações:
Σ Fx = 0
Exemplo 01:
1000
1000
Σ Fy = 0
e
B
B
β
3,0 m
3,0 m
4,243 m
A
RHA
C
A
3,0 m
tg β = 3/3 = 1
tg α = 3/3 = 1
C
3,0 m
RVA
α
RVC
α = β = 45º
sen 45º = cos 45º = 0,7071Reações:
Σ M(A) = 0
0 = RVCx3 - 1000x3
RVC = 1000
Σ Fx = 0
0 = RHA + 1000
RHA = -1000
Σ Fy = 0
0 = RVA + RVC
RVA = -1000
Equilíbrio dos nós
(+) Tração
(-) compressão
1000 N
Nó B
Σ FH = 0 = 1000 + RBC sen β
FBC = -1000 / sen β
Σ FV = 0 = RBA + FBC cos β
B
FBA
β
FBC
FAB = - FBC cos β = 1000 N
FBC = - 1414,2 N
FCB
Nó C
Σ FV = 0 = RVC+ FCB sen α
FCB = - RVA / sen α = -1414,2 N ok!!!!!!
Σ FH = 0 = FCA + FCB cos α
α
FCA
C
FCA = - FBC cos α = 1000 N
Nó A
RVC
RHA
Σ FV = 0 = RVA + FAB
FAB = - RVA = 1000,0 N ok!!!!!!
Σ FH = 0 = RHA + FAC
FAC = - RBA = 1000,0 N ok!!!!!!!
FAB
A
FAC
RVA
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Solução Final
30
1000 N
Observe que foi feito equilíbrio dos
45ºnós. Se a barra é tracionada ela
FBC = FCB = - 1414,2 N
Compressão na barra
FAB = FBA = 1000,0 N
Tração na barra
comprime o nó e vice-versa. Assim,
uma força de tração no nó implica em
45º
uma de tração na barra, com mesma
1000 N
1000 N
intensidade e direção.
FAC = FCA = 1000,0 N
Tração na barra
1000 N
Exemplo 02: Calcular a treliça abaixo
Reações de apoio...
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3 Estática das estruturas planas
3.1 Cálculo das reações vinculares - apoios
3.1.1 Condições de equilíbrio estático
O equilíbrio estático de uma estrutura bidimensional (a estrutura considerada, as forças sobre
ela aplicadas, as conexões e vínculos estão contidas no plano da figura) é dado por:
Σ FH = 0
Σ FV = 0 e Σ M(i) = 0
Sendo i um ponto qualquer daestrutura.
Veja a figura abaixo.
FH
1,0 m
A
D
C
Σ FH = 0
B
F1
5 kN
RHC
ΣM(i) = 0
F2
10 kN
4,0 m
2,0 m
Σ FV = 0
RVC
Me
Md
C
Σ FH = 0
Não existem forças horizontais aplicadas, portanto RHC = 0.
Σ FV = 0
As forças verticais atuantes são FA = 5 kN e FB = 10 kN, portanto RVC = 15 kN
Σ M(i) = 0
Para qualquer ponto da estrutura, os momentos aesquerda e à direita deste ponto, deverão ser
de mesma intensidade e sentidos opostos, i é, sua soma deve ser nula.
Σ M(C) = 0
5 x 4 = 10 x 2
20 (anti-horário) = 20 (horário)
Isto vale para qualquer ponto da estrutura, más, alguns pontos oferecem algumas facilidades,
por exemplo, a somatória dos momentos no ponto C, não considera a reação RVC pois esta
está aplicada no ponto C e portantoseu braço é nulo. O ponto D, ao contrário, considera todas
as forças aplicadas na estrutura.
Σ M(D) = 0
5 x 1 = (10 x 5) – (15 x 3)
5 (anti-horário) = 5 (horário)
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3.1.2 Cálculo das reações de apoio
Determinar as reações de apoio para as vigas representadas abaixo
P
ℓ/2
A
P
ℓ/2
ℓ
A
x
A
B
P
B
ℓ
a)
ℓ
b)
p
BA
p
B
ℓ
A
kℓ
ℓ
d)
e)
B
A
B
a
ℓ
f)
p1
p
Kℓ
c)
p
A
B
x
P
p2
A
B
ℓ
A
B
ℓ
g)
Kℓ
ℓ
h)
i)
p = 12 kN/m
P = 20 kN
p = 15 kN/m
A
A
B
2,0 m
1,2 m
1,2 m
1,0 m
60º
p = 12 kN/m
B
5,0 m
2,0 m
1,0 m
P = 20 kN
2,0 m
k)
j)
A figura abaixo mostra uma Viga Gerber.São três vigas, sendo que a central é apoiada nas
extremidades dos balanços das outras duas. Como devem ser os apoios E e F? Determine
todas as reações.
p = 12 kN/m
A
1,2 m
B
4,0 m
E
1,2 m
F
3,0 m
C
1,2 m
D
4,0 m
1,2 m
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3.2 Análise de treliças pelo método dos nós
Nas treliças os nós são articulações perfeitas, sem força de atrito, asforças são aplicadas
apenas nos nós e, as barras transmitem apenas esforços normais. Para o equilíbrio do nó
devem ser satisfeitas as seguintes equações:
Σ Fx = 0
Exemplo 01:
1000
1000
Σ Fy = 0
e
B
B
β
3,0 m
3,0 m
4,243 m
A
RHA
C
A
3,0 m
tg β = 3/3 = 1
tg α = 3/3 = 1
C
3,0 m
RVA
α
RVC
α = β = 45º
sen 45º = cos 45º = 0,7071Reações:
Σ M(A) = 0
0 = RVCx3 - 1000x3
RVC = 1000
Σ Fx = 0
0 = RHA + 1000
RHA = -1000
Σ Fy = 0
0 = RVA + RVC
RVA = -1000
Equilíbrio dos nós
(+) Tração
(-) compressão
1000 N
Nó B
Σ FH = 0 = 1000 + RBC sen β
FBC = -1000 / sen β
Σ FV = 0 = RBA + FBC cos β
B
FBA
β
FBC
FAB = - FBC cos β = 1000 N
FBC = - 1414,2 N
FCB
Nó C
Σ FV = 0 = RVC+ FCB sen α
FCB = - RVA / sen α = -1414,2 N ok!!!!!!
Σ FH = 0 = FCA + FCB cos α
α
FCA
C
FCA = - FBC cos α = 1000 N
Nó A
RVC
RHA
Σ FV = 0 = RVA + FAB
FAB = - RVA = 1000,0 N ok!!!!!!
Σ FH = 0 = RHA + FAC
FAC = - RBA = 1000,0 N ok!!!!!!!
FAB
A
FAC
RVA
ESTÁTICA – DEC 3674
Solução Final
30
1000 N
Observe que foi feito equilíbrio dos
45ºnós. Se a barra é tracionada ela
FBC = FCB = - 1414,2 N
Compressão na barra
FAB = FBA = 1000,0 N
Tração na barra
comprime o nó e vice-versa. Assim,
uma força de tração no nó implica em
45º
uma de tração na barra, com mesma
1000 N
1000 N
intensidade e direção.
FAC = FCA = 1000,0 N
Tração na barra
1000 N
Exemplo 02: Calcular a treliça abaixo
Reações de apoio...
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