Espelhos parabolicos

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Cônicas

Maria Cândida Cruz e Costa

Orientador: Prof. Francisco Dutenhefner

Monografia apresentada ao departamento de Matemática do Instituto de Ciências exatas da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos para obtenção do título de Especialista em Matemática.

Belo Horizonte junho de 2005.

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Ao professor Francisco que com indecomponível competência e,sobretudo, presteza contribuiu para a concretização deste trabalho. Ao professor que, possuindo

sabedoria, transmitiu-a por inteiro, minha eterna gratidão. Pelas

limitações que soube suprir, doandose por inteiro, meu Ao perene rico

reconhecimento.

conhecimento que me transmitiu, meu muito obrigado.

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Cônicas

Introdução

1. Parábola 1.1. Definição 1.2. Teorema 1.3.Demonstração 1.4. Equação 1.5. Propriedade de reflexão 1.6. Caracterização da Parábola.

2. Elipse 2.1. Definição 2.2. Teorema 2.3. Demonstração 2.4. Equação 2.5. Propriedade de reflexão

3. Hipérbole 3.1. Definição 3.2. Teorema 3.3. Demonstração 3.4. Equação 3.5. Propriedade de reflexão

4. Referências Bibliográficas

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Introdução

O objeto principal do presente trabalho é apresentar asdefinições, as equações e algumas propriedades das cônicas: parábola, elipse e hipérbole. Todos os conceitos trabalhados serão definidos formalmente, e os resultados e propriedades enunciados serão demonstrados. Esta monografia é dividida em três capítulos, cada um deles reservado a uma das cônicas: parábola, elipse e hipérbole. Cada uma destas curvas é apresentada, inicialmente, como uma seção cônica: ainterseção de um cone de revolução por um plano. De modo mais detalhado, uma superfície cônica de revolução é a superfície gerada pela rotação completa de uma reta (chamada geratriz) em torno de uma outra reta (chamada eixo do cone), conforme a figura abaixo.

Folha superior

eixo

Folha inferior

geratriz

Desta primeira definição de uma seção cônica, são demonstradas as propriedadesfocais que permitem a dedução da equação reduzida das cônicas num conveniente sistema de coordenadas. Uma vez deduzidas as equações das cônicas, demonstramos as

propriedades de reflexão de cada uma delas e apresentamos algumas aplicações destas propriedades. Para o caso específico da parábola, além de demonstrar sua propriedade de reflexão, demonstramos que esta curva é o único gráfico de funçãoque possui esta

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propriedade. A demonstração desse resultado segue da determinação explícita de todas as soluções de uma equação diferencial não linear de primeira ordem.

Por fim, cumpre ressaltar que a razão motivadora da escolha do tema Cônicas foi, principalmente, o interesse pessoal pelo mesmo, haja vista que não tive a oportunidade de estudar de forma mais profunda, durante agraduação, este assunto de significativa relevância no estudo da Matemática.

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1. Parábola

1.1.

Definição

A parábola é a curva obtida através da intersecção de um cone e um plano secante paralelo a uma e somente uma geratriz do cone.

1.2.

Teorema

Se C é uma parábola, então existe um ponto F, denominado foco da parábola, e uma reta D, denominada diretriz tal que, a distância de umponto P pertencente à parábola ao foco é igual à distância desse ponto P a reta diretriz.

d (P,F) = d(P,D)

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1.3.

Demonstração Essa demonstração segue uma linha de raciocino desenvolvida pelo

matemático Belga Germinal Pierre Dandelin em 1822. As construções de Dandelin usam esferas inscritas no cone e tangentes ao plano que intercepta o cone formando a seção cônica. No caso daparábola, somente uma esfera é inscrita no cone. Vamos considerar a esfera de centro O inscrita no cone e tangente ao plano

γ da secção cônica num ponto F. Esta esfera intercepta o cone em uma
circunferência pertencente a um plano π . Seja d a reta de intersecção dos planos γ e π . Vamos mostrar que esta secção cônica é a parábola de reta diretriz d e foco F, ou seja vamos demonstrar que a...
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