Espaços vetoriais

2) ESPAÇÕS VETORIAIS A Álgebra Moderna, que estuda as estrutura algébricas, surgiu no século XIX. Os matemáticos dedicaram muito tempo em busca de uma fórmula resolutiva para equações de grau n, como a que existe para a equação do 2º grau. Esta busca teve fim quando o matemático norueguês Abel provou que tal fórmula não existe para equações de grau maior que 4. Os matemático perceberam que conjuntos ( numéricos ou não) onde definimos uma ou duas operações, para as quais valem determinadas propriedades apresentam a mesma estrutura, mudando apenas a aparência dos elementos. Começam então as teorias sobre estruturas algébricas, Grupos, Anéis, Corpos, Álgebra Booleana e Espaços Vetoriais. A teoria criada por Hamilton Grassmann, a Álgebra Linear que é o estudo dos Espaços Vetoriais, vai dar os subsídios para o desenvolvimento da Física do século XX com a utilização do Cálculo Vetorial.. A Base Canônica {i, j, k} é uma simplificação dos quatérnions { i, j, k, l} desta teoria.

2.1) ESPAÇOS VETORIAIS

Definição: Dizemos que um conjunto não vazio V é um espaço vetorial sobre se, e somente:

i) Existe uma adição de VxV V que associa a cada par ordenado (u, v) o elemento (u + v), com as seguintes propriedades, :
A) Associativa: u + (v + w) = ( u + v) + w
A) Comutativa: u + v = v + u
A) Existe em V um elemento neutro para esta adição, chamado vetor nulo e indicado por o , tal que: o o = u.
A) Para todo elemento u , existe o elemento oposto de u, indicado por –u, tal que: u + (-u ) = ( -u) + u = o.

ii) Existe uma multiplicação por número real de xV V que associa a cada par ordenado ( r, u) o elemento r.u, com as seguintes propriedades,,:
M) a . ( b.u ) = ( a. b). u
M) a . ( u + v) = a.u + a.v
M) ( a + b ) . u = a.u + b.u
M) 1.u = u.

Exemplos:

1) é espaço vetorial sobre para a adição definida por ( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z, y + t) e a multiplicação por número real definida por r. (x, y) =