Espaço Vetorial

6. Espaços Vetoriais

Definição 1: Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidos as operações (+) e (.) por um escalar, isto é, para todo u, v  V, u + v  V, e para todo   IR e u  V, .u  V que satisfazem as propriedades:

i) Para u, v e w  V, temos (u + v) + w = u + (v + w) ii) Para u e v  V, temos u + v = v + u iii) 0  V, tal que para todo u  V, 0 + u = u iv) Para u  V, -u  V, tal que, u + (-u) = 0
v) Se  e   IR e u  V, então ( . ) . u =  . ( . u) vi) Se  e   IR e u  V, então ( + ) . u = u + u vii) Se   IR e u e v  V, então .(u + v) = u + v viii) Se u  V, então 1.u = u

Então V é denominado Espaço Vetorial

1) Exercício: Mostre que o conjunto IR2 é um espaço vetorial.
Solução: Seja u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w = (x3, y3) vetores  IR2.

Definição 2: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W de V, não vazio, será um Subespaço Vetorial de V se satisfaz a seguintes condições:

i) Para qualquer u e v  W, segue que u + v  W; ii) Para qualquer u  W e   IR, segue que .u  W.

Exemplo: Sejam V = IR2 e W = { (x,y)  IR2  y = 2x}. Demonstrar que W é subespaço vetorial de IR2.

De fato, sejam u = (x, 2x) e v = (x1, 2x1)  W.
i) u + v = (x, 2x) + (x1, 2x1) = (x + x1, 2x + 2x1) = (x + x1, 2.(x + x1))
Como em u + v, a segunda coordenada é o dobro da primeira, segue que u + v  W.

ii) Seja u  W e  IR, então  . u = .(x, 2x) = .x +  . 2x
Como a segunda coordenada é o dobro da primeira, segue que .u  W.
Logo, W é Subespaço Vetorial de V.
Definição 3: Sejam V um espaço vetorial v1, v2, v3, ..., vn  V e a1, a2, a3, ..., an  IR. Então o vetor v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... anvn é um elemento de V e é chamado de Combinação Linear de v1, v2, v3, ..., vn.

Exemplo: Sejam V1 = (1, 2, 3) e V2 = (1 , 1, 2) e V3 = (-1, 1, 0) vetores no IR3 e a1 = 1, a2 = -1, a3 = 2. Mostre que V1, V2 e V3 é combinação Linear de V.

Então v = a1v1 +