Equações Transcedentes

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

CÁLCULO NUMÉRICO
PROF.: PATRÍCIA TAVARES
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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES

1. Introdução

Nas diversas áreas das ciências exatas ocorrem situações que envolvem a resolução de equações do tipo . Nosso objetivo será determinar as raízes reais de , ou seja, determinar tal que . O valor de pode ser real ou complexo.

Para se calcular uma raiz duas etapas devem ser seguidas:
Etapa I: Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo , o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação .
Etapa II: Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido.

2. Isolamento de raízes (etapa I)

Nesta etapa é feita uma análise teórica e gráfica da função . É importante ressaltar que o sucesso da etapa II depende fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica usamos frequentemente o teorema:

Teorema 1: Seja uma função contínua num intervalo . Se então existe pelo menos um ponto entre e que é zero de .

A raiz será definida e única se a derivada existir e preservar o sinal dentro do intervalo .
Graficamente:

Uma forma de se isolar as raízes de usando resultados anteriores é tabelar para vários valores de e analisar as mudanças de sinal de e o sinal da derivada nos intervalos em que mudou de sinal.

Exercício 1

a)

b)

c)

d)

2.1 Equações algébricas

Seja uma equação algébrica de grau : (1)

Teorema 2: Uma equação algébrica de grau tem exatamente raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com a sua multiplicidade.
Uma raiz da equação (1) tem multiplicidade se: e
Onde:

Exercício 2

a)

b)

c)

d)

Teorema 3: Se os coeficientes da equação algébrica (1) são