Equações recorrentes

Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecânica – Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Julho 2006

Equações Recorrentes
Introdução Dada uma seqüência numérica, muitas vezes queremos determinar uma lei matemática, que relaciona um termo qualquer com a sua posição na seqüência. Por exemplo, numa seqüência (a1 , a2 , a3 ,..., an ) , ai representa i-ésimo termo e é natural que se queira relacioná-lo com o valor de i. Entende-se por termo geral da seqüência, a expressão que relaciona o valor do n-ésimo termo, com a sua respectiva posição “n” na seqüência. Segue alguns exemplos de seqüência e os seus respectivos “termos gerais”: (1, 2,3, 4,..., n) ⇒ ak = k

(1, 2, 4,8,...) ⇒ an = 2n −1 Em certas situações não se conhece de forma explícita, a lei de formação (ou termo geral) da seqüência apresentada, porém pode ser razoável relacionar um termo qualquer com alguns termos anteriores. Veja alguns exemplos: (0,1,1, 2,3,5,8, ...) ⇒ an = an −1 + an − 2 , ou seja, um determinado termo é a soma dos dois termos anteriores. (1, 4, 7 ,10,13,...) ⇒ an = an −1 + 3 , ou seja, um determinado termo é o anterior “mais 3”. Essas equações que envolvem termos da seqüência são chamadas de equações recorrentes, pois para se determinar certo termo, se recorre a termos anteriores, previamente determinados. Esse artigo tem por objetivo mostrar técnicas para a manipulação de algumas equações recorrentes particulares.
Classificação de equações recorrentes

Há infinitas formas de equações recorrentes. Veja abaixo uma equação recorrente que denota um caso mais geral de representação de equações recorrentes.

λn an + λn −1an −1 + ... + λ1a1 + λ0 a0 = g (k )

(I)

Na equação λk podem ser constantes, termos dependentes de “k” ou ainda termos dependentes de outros termos da seqüência, ou seja, pode-se dizer que λk = f (k , ak , ak −1 ,..., a1 , a0 ) . g (k ) é uma função, discreta, dependente da variável “k” e ak ( 0 ≤ k ≤ n) são termos da seqüência em questão. As equações