Equações diferenciais de 2ª ordem

Introdução
As equações diferenciais estudadas neste curso, assim como a transformada de Laplace são poderosas ferramentas de cálculo e têm aplicações em praticamente todas as áreas da Física. Em especial ha uma grande variedade de fenômenos físicos que são muito bem representados por equações diferenciais de 2a ordem.
Aplicações de Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem
Problema 1 Oscilador Harmônico Amortecido Crítico
Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 pés. Supondo que uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a equação de movimento se o peso for solto de uma posição de equilíbrio a uma velocidade de 3 pés/s para cima.
Solução:
Com base na lei de Hooke, vemos que 8 = k(2) nos dá k = 4 lb/pés e que W = g.m nos dá m =832=14sugs.
Resolvendo a equação temos: md2xdt2=-Kx-βdxdt14d2xdt2=-4x-2dxdtDividindo tudo por m teremos: d2xdt2+8dxdt+16x=0Agora como βm2-Km2=0Nosso sistema é considerado um movimento com amortecimento crítico e por isso,
X(t)=e- βmt C1+C2tX(t)= C1 e- 4t+ C2te- 4tAplicando as condições iniciais x(0) = 0 e x’(0) = - 3, obtemos c1 = 0 e c2 = -3, logo, a equação do movimento é:
X(t) = - 3te-4t Problema 2Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em série LRC quando L=0,25 henry(h), R = 10 ohms(Ω ), C = 0,001 farad(f), E(t) = 0, q(0) = q0 Coulomb(C) e i(0)=0.
Resolução
Como 1/C = 1000 teremos,
Ld2qdt2+Rdqdt+qC=Et14q''+10q'+1000q=0Dividindo por L q''+40q'+4000q=0O circuito é subamortecido e q(t) = e-20t(C1 cos60t +C2 sen60t)Aplicando as condições iniciais q(t) =q0 e-20t(cos60t +13 sen60t)Transformada de LaplaceOliver Heaviside, ao estudar processos simples para obter soluções de Equações Diferenciais, se deparou com um método de Cálculo Operacional que leva ao conceito matemático da Transformada de Laplace, que é um método simples para transformar um Problema com Valores Iniciais em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução do mesmo de