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XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase – Nível 2 8o ou 9o ano

Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de:

AL – BA – MG – PA – RS – RN – SC

A duração da prova é de 3 horas. Cada problema vale 1 ponto. Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros ou ainda o uso do telefone celular. Você podesolicitar papel para rascunho. Entregue apenas a folha de respostas. Ao participar o aluno se compromete a não divulgar o conteúdo das questões até a publicação do gabarito no site da OBM.

18 de junho de 2011

1) A figura ao lado representa um mapa de estradas. Os números escritos nas setas indicam quanto de pedágio um viajante deve pagar ao passar pela estrada. Todas as estradas são de mão única,como indicam as setas. Qual o valor mínimo de pedágio pago por um viajante que sai da cidade A e chega na cidade B? A) 11 D) 10 B) 14 E) 15 C) 12

7 4 9 8

1

6 B

A

3

5 4

1

2) O pai de Esmeralda comprou um terreno retangular de 120 metros de comprimento por 80 metros de largura. Devido a leis ambientais, ele deve plantar árvores em 20% do terreno. Ele faz isso plantando-as emduas faixas de mesma largura nas laterais do terreno, conforme mostra a figura. Qual é essa largura? A) 6m D) 16m B) 8m E) 24m C) 10m

3) No desenho ao lado, três cubos iguais estão apoiados sobre uma mesa. Cada cubo tem as faces numeradas por 0, 1, 3, 4, 5, 9, onde cada número aparece exatamente uma vez. Qual é a soma dos números das faces em contato com a mesa? A) 6 E) 12 B) 8 C) 9 D) 10XXXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 2 www.obm.org.br

1

4) Qual é o valor da expressão 201120112 + 201120032 − 16 × 20112007 ? A) 2 × 20112007 2 B) 2 × 201120032 C) 2 × 20112007 2 E) 2 × 20112011 D) 2 × 20112003 5) Quantos triângulos não congruentes de perímetro 7 têm todos os lados com comprimentos inteiros? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6) Dois triângulos equiláterosde perímetro 36 cm cada são sobrepostos de modo que a região comum dos triângulos seja um hexágono com pares de lados paralelos, conforme a figura ao lado. Qual é o perímetro desse hexágono? A) 12cm B) 16cm C) 18cm D) 24cm E) 36 cm

7) Qual é o produto da quantidade de vogais pela quantidade de consoantes na alternativa correta? (Não considere as letras A, B, C, D, E das alternativas nacontagem.) A) Vinte e quatro. B) Trinta e seis. C) Quarenta e dois. D) Quarenta e oito. E) Cinquenta e seis. 8) Luca comprou um gibi por R$4,63 e pagou com uma nota de R$5,00. De quantas maneiras ele pode receber seu troco de 37 centavos, com moedas de 1, 5, 10 e 25 centavos? Suponha que há muitas moedas de cada tipo. A) 10 B) 12 C) 15 D) 24 E) 25 9) Quantos números inteiros positivos menores que 30 têmexatamente quatro divisores positivos? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

ˆ ˆ ˆ 10) Em um triângulo ABC com m( ABC ) − m( BAC ) = 50 , a bissetriz do ângulo ACB intersecta o ˆ ˆ lado AB em D. Seja E o ponto do lado AC tal que m(CDE ) = 90 . A medida do ângulo ADE é:
A) 25o B) 30o C) 40o D) 45o E) 50o
13 , obtemos a 14

11) Subtraindo um mesmo número do numerador e do denominador da fração
fraçãoA) 1

14 . A soma dos algarismos desse número é: 13 B) 3 C) 5 D) 7

E) 9

12) Se multiplicarmos todos os inteiros positivos menores que 2011 que não são múltiplos de 5, qual será o algarismo das unidades do número obtido? A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

ˆ 13) Seja XOY um triângulo retângulo com XOY = 90 . Sejam M e N os pontos médios de OX e OY, respectivamente. Dado que XN = 19 e YM = 22,determine a medida do segmento XY. A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

2

XXXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 2 www.obm.org.br

14) Safira rasgou uma folha de papel em n pedaços e, em seguida, pegou um desses pedaços e rasgou também em n pedaços. Não satisfeita, ela pegou um desses últimos pedaços e também rasgou em n pedaços. Qual dos números a seguir pode representar...
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