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Notas de aula --- Parte II

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Escritas pelo Professor Wilson Canesin

Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade Braz Cubas

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de trêsoutras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis. Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é P = f( L, K) O mesmo variáveis. conceito se estende para qualquer número de

1.2 – Funções de duasvariáveis Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chamase função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. z Assim, f(x,y) D é o domínio da função em R2 , f é a função y f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). x
z

(x,y) D

Exemplos de valores de função de 2 variáveis: Ex.1sef(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32 Ex.2f(x,y) = (3x+y3)1/2 Domínio das funções de duas variáveis O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 , tal que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em valores finitos e reais para f(x,y). Ex.1- Achar o domínio da funçãof(x,y) = y − x A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu domínio é D ={ (x,y) ε R2 / y - x ≥ 0 }.

Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica

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x2 Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) = , a função é finita 2x − y quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto depontos, tais que, z
D

D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }.

x

y D
z

x2 Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) = , a função é finita 3x − y quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que,

D ={ (x,y) ε R2 / 3x - y > 0 }.

1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x,y e y=f(x). Para funções de 2 variáveis o gráficoé em R3 e z = f(x,y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.
Z

Y

A superfície é obtida para cada par x,y , fixando um valor de x e variando y, em seguida fixa um 2o valor de x e varia y , depois fixa um 3o x e varia y ,etc., até variar x e y em todo o domínio.

X

X 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 ...

Y 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 ...

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Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

Exemplos de funções de 2 variáveis:
Z

Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5
A superfície é um plano infinito, paralelo a x,y e passando por z=5

5

Y X

Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de umplano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer : a) x =0 e y =0 → z = 6 b) x =0 e z = 0 → y = 2 c) y =0 e z = 0 → x = 3 Portanto, o gráfico de f no plano é ⇒
Z (0,0,6)

X (3,0,0) Y

(0,2,0)

Ex.3 – A função é z = f(x,y) = x2 + y2

Ex. 4 - A função é z = f(x,y) = 1 − x − y
2 2

Z

A superfície é um parabolóide de revolução.
Y X X

Z

A superfície geradaé uma semi-esfera de centro na origem.
Y

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1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por lim f ( x, y ) = L ( x, y ) → ( x 0 , y 0 )...
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