Eletromagnetismo

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Coordenadas cartesianas
Deslocamento infinitesimal

ˆ
dr = dx ˆ + dy  + dz k
ı
ˆ

Volume infinitesimal

dV = dx dy dz

Gradiente

∇Φ =

Divergˆncia
e

∇. A =

Rotacional

∇∧A=Laplaciano

∇2 Φ =

∂Φ
∂Φ
∂Φ ˆ
ˆ+
ı
+
ˆ
k
∂x
∂y
∂z
∂Ax
∂Ay
∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
∂ Az
∂Ay

∂y
∂z

ˆ+
ı

∂ Ax
∂Az

∂z
∂x

+
ˆ

∂ Ay
∂Ax

∂x
∂y

ˆ
k∂ 2Φ ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2

Coordenadas cil´
ındricas
Deslocamento infinitesimal

ˆ
ˆ
ˆ
dr = dr er + r dφ eφ + dz ez

Volume infinitesimal

dV = r dr dφ dz

Gradiente

∇Φ =Divergˆncia
e

∇. A =

Rotacional

∇∧A=

Laplaciano

∇2 Φ =

1 ∂Φ
∂Φ
∂Φ
ˆ
ˆ
ˆ
er +
eφ +
ez
∂r
r ∂φ
∂z
1∂
1 ∂Aφ
∂Az
(rAr ) +
+
r ∂r
r ∂φ
∂z
1 ∂Az
∂Aφ
∂ Ar
∂Az
1∂∂Ar
ˆ
ˆ
ˆ

er +

eφ +
(rAφ ) −
ez
r ∂φ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂φ

∂Φ
1∂
r
r ∂r
∂r

+

1 ∂2Φ ∂2Φ
+
r2 ∂φ2
∂z 2

Coordenadas esf´ricas
e
Deslocamento infinitesimal

ˆ
ˆ
ˆdr = dr er + r dθ eθ + r sin θ dφ eφ

Volume infinitesimal

dV = r2 sin θ dr dθ dφ

Gradiente

∇Φ =

Divergˆncia
e

∇. A =

Rotacional

∇∧A=

∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
ˆ
ˆ
ˆ
er +
eθ +
eφ∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
1∂
1 ∂Aφ
1∂ 2
(r Ar ) +
(sin θAθ ) +
r2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
1

∂Aθ
1 1 ∂Ar

ˆ
ˆ
(sin θAφ ) −
er +

(rAφ ) eθ +
r sin θ ∂θ
∂φ
r sin θ ∂φ
∂r
+Laplaciano

∇2 Φ =

1∂
∂Ar
ˆ
(rAθ ) −

r ∂r
∂θ

1∂
∂Φ
r2
r2 ∂r
∂r

+

r2

1

∂Φ
sin θ
sin θ ∂θ
∂θ

+

1
∂2Φ
2 ∂φ2
r2 sin θ

Coordenadas cil´
ındricas
z
y
e^

zr

z

e^

e^
r

e^
B

y
y

B

y

ˆ
ˆ
ˆ
eφ ∧ ez = er

ˆ
ˆ
ˆ
ez ∧ er = eφ

x

x

ˆ
ˆ
ˆ
er ∧ eφ = ez

x2 + y 2

x = r cos φ

r=

y = r sin φ

φ = arctany
x

z=z

ˆ
er = cos φ ˆ + sin φ 
ı
ˆ

ˆ=
ı

ˆ
eφ = − sin φ ˆ + cos φ 
ı
ˆ

=
ˆ

x
x2

+
y

y2

x2 + y 2

ˆ
er −
ˆ
er +

ˆ
∂ er
ˆ
= eφ
∂φ
ˆ
∂ eφ
ˆ...
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