Edp membrana retangular

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Métodos de Física Teórica II
Prof. Henrique Boschi
IF - UFRJ
1º. semestre de 2010
Aula 5
Ref. Butkov, caps. 8 e 9, seções 8.8 e 9.1

• Vibrações de uma membrana
Como mencionado na aula passada, pode-se
deduzir a equação diferencial que descreve os
movimentos transversais de uma membrana,
em analogia à equação da corda (v. sec. 8.8 do
Butkov). A equação é

que é a equação da onda emduas dimensões.

Vamos analisar, agora, como obter a solução
para essa equação, usando certas condições de
contorno.
• Vamos considerar o movimento de uma
membrana retangular, com bordas fixas:

e dimensões a e b. As condições de contorno para
os desloca-mentos transversais

u  u( x, y; t ) são

(bordas fixas)

Usando o método de separação de variáveis,
escrevemos,

•Substituindo esta expressão na equação de
vibração da membrana,

e dividindo esta equação poru  u( x, y; t )

vemos que as seguintes equações diferenciais
ordinárias devem ser satisfeitas:

desde que
, de modo análogo,
ao caso da corda vibrante.

As soluções para X(x) e Y(y) são idênticas à de
X(x) para a corda, isto é, são senos e cossenos,
porém, como os extremos são fixos, restamapenas os senos, logo

onde identificamos

• com m = 1, 2, 3, ... e n = 1, 2, 3, ... , em
analogia com a corda vibrante.

A solução da parte temporal será também uma
soma de senos e cossenos

onde
com m, n = 1, 2, 3, ... , já que

Note que
são as frequências de
vibração da membrana para cada modo (m,n).

Então, a solução completa do problema, usando
o princípio da superposição, é
onde
e
são coeficientes a ser determinados. De fato a expressão acima corresponde
a uma série dupla de Fourier.

Para determinar
obtendo

vamos fazer t = 0 ,

que ainda é uma série dupla de Fourier de
senos. Vamos multiplicar os dois lados dessa
equação por

e integrar sobre x entre 0 e a, e sobre y entre
0 e b.

Lembrando da ortogonalidade das funções senos,
vemos quetodos os termos serão nulos exceto para
m=m’ e n=n’, exatamente como no caso das séries
de Fourier unidimensionais. Assim

• Analogamente, calculando a derivada parcial
temporal de u  u( x, y; t ) , fixando t = 0 e
repetindo o procedimento acima, encontra-se

Assim, se as funções
e
forem conhecidas, poderemos determinar os
coeficientes
e
• Essa é, portanto, a solução geral doproblema
para estas condições de contorno.
• Vamos, agora, analisar os modos de vibração
da membrana.

Modos de vibração da membrana
• Cada par (m, n) corresponde a um modo de
vibração característico da membrana, que
oscila com frequência

onde, por conveniência, reescrevemos
como

identificando

• Note, portanto, que cada ponto (x, y) da
membrana vibra como um oscilador
harmônico defrequência

onde

Note, também, que alguns pontos (x, y) da
membrana estarão sempre em repouso. Isto
ocorre sempre que
ou
se anularem, ou seja, para

a
x
m

e y qualquer, ou

b
y
n

e x qualquer.

Portanto, encontramos linhas sobre a
membrana que não vibram.
• Essas são as chamadas linhas nodais, em
analogia aos pontos nodais da corda vibrante.
• Neste caso da membranaretangular, as linhas
nodais são retas.

Vejamos um exemplo. Vamos considerar o modo
de vibração (2,1), isto é m = 2 e n = 1.
• Neste caso,
será uma linha nodal.
• Graficamente, podemos representar essa linha
nodal como

Analogamente, o modo (1,2) corresponde a

• Graficamente, temos

Degenerescência
• As frequências dos modos (m,n) são, em
geral, diferentes, mas se asdimensões da
membra-na forem tais que a razão a / b seja
um número inteiro, então algumas dessas
frequências serão comuns a dois ou mais
modos.
• Por exemplo, se a=b os modos (m,n) e (n,m)
terão sempre a mesma frequência e são ditos
duplamente degenerados.

Por exemplo, para os modos (1,2) e (2,1) com
a = b , teremos modos da forma

• Obs.: Para mais detalhes ver Butkov, seção 8.8.

Cap....
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