Edos segunda ordem

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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática
Equações Diferenciais

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA PADRÃO : a y′′ + b y ′ + cy = 0 Exemplos . 1) y′′ + 6y′ + 5y = 0 2) y′′ + y′ = 0 a = 1 , b =6 e c = 5 a= 1 ,b=1 e c=0 a=2 ,b=–5 e c=4 a = 1, b=0 e c=9

3) 2y′′ – 5y′ + 4y = 0 4) y′′ – 9y =0

As soluções usuais destas equações são funções exponenciais, funções lineares e as funções trigonométricas seno e cosseno, que são periódicas. Por exemplo, uma solução da equação diferencial y′′ – 9y = 0 é y = e3x, pois y′ = 3e3x e y′′ = 9e3x, donde y′′ – 9y = 9e3x – 9e3x = 0. De acordo com a teoria, as equações diferenciais lineares de ordem 2, homogêneas, com coeficientes constantes,possuem duas soluções linearmente independentes. Tais soluções podem ser determinadas através do método da equação característica. No caso da equação y′′ – 9y = 0 , supondo uma solução exponencial, isto é, da forma y = erx, vemos que y' = rerx e y'' = r2erx ; substituindo na equação y′′ – 9y = 0, resulta r2erx – 9erx = 0, logo (r2 – 9)erx = 0. Como erx ≠ 0, segue r2 – 9 = 0, donde r = 3 ou r = – 3. Aequação r2 – 9 = 0 é chamada de equação característica da equação diferencial. Assim, as soluções linearmente independentes da equação y′′ – 9y = 0 são as funções y1 = e3x e y2 = e–3x . Neste caso, a solução geral da equação y′′ – 9y = 0 é dada por y = ae3x + be–3x, onde a e b são constantes arbitrárias. Generalizando este exemplo, descrevemos abaixo o método da equação característica. Solução geralda equação a y′′ + b y ′ + cy = 0 em termos das raízes r1 e r2 da equação característica ar2 + br +c = 0 . A equação característica é uma equação de segundo grau, na incógnita r. Esta equação equivale a substituir , na edo dada, y ′′ por r2 , y ′ por r e y por 1, respectivamente. Ao resolver esta equação, podemos obter duas raízes diferentes, duas raízes iguais ou duas raízes complexasconjugadas. Por exemplo, os números complexos 1+2i e 1–2i são números complexos conjugados. A unidade imaginária é denotada por i, isto é, i2 = – 1. Para cada caso, temos uma solução da equação diferencial correspondente expressa em termos das raízes encontradas.

1

Caso 1 : Raízes reais e diferentes ( r1 ≠ r2 ) A solução geral da edo é rx r x y = c1 e 1 +c2 e 2 ,onde c1 e c2 são constantesarbitrárias. Caso 2 : Raízes reais e iguais ( r1 = r2 ) A solução geral da edo é y = c1 e r1x +c2 x e r1x , onde c1 e c2 são constantes arbitrárias

Caso 3: Raízes complexas (r1= α +i β , r2= α –i β ) , β > 0. A solução geral da edo é y=c1 eαx cos( β x)+c2 eαx sen( β x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias

Num problema de valores iniciais, as constantes c1 e c2 podem ser determinadas. Veremosexemplos de resolução de equações diferenciais ordinárias de ordem 2 , homogêneas e PVI′s, com coeficientes constantes pela equação característica (EC) . 1) y′′ + 5y ′ + 6y = 0. Solução: a = 1 b = 5 c=6 2 EC : r + 5r + 6 = 0 Raízes : r = ( – 5 ± 25 − 4 * 6 )/2 r1 = – 2 r2 = – 3 ( caso 1) - 2x +c e -3x é a solução geral da equação y′′ + 5y ′ + 6y = 0. Logo, y= c e
1 2

2)

PVI

y′′ + 5y ′ + 6y =0, y(0) = 0 , y ′ (0) =1 Solução: a solução geral da edo é y= c e - 2x +c e -3x , de acordo com o exemplo 1.
1 2

Derivando, vem y ′ = –2 c1 e - 2x +–3c2 e -3x . Condições Iniciais (CI) x = 0 ⇒ y(0) = 0 c1 + c2 = 0 x = 0 ⇒ y ′( 0) = 0 –2c1 –3c2 = 1 Temos de resolver o sistema : c1 + c2 = 0 –2 c1 –3c2 = 1 A solução é : c1 = 1 e c2 = –1. Logo, y= e - 2x – e -3x é a solução do PVI. 3) y ′′ + 4y ′ +4y = 0 Solução : a =1 b=4 c=4 EC: r2 + 4r +4 = 0 Raízes : r1 = r2 = – 2 ( raiz real dupla ) De acordo com o caso 2, y = c1 e - 2x + c2 x e - 2x é a solução geral da edo.

2

4)

y ′′ + y ′ + y = 0 Solução : a = b = c = 1 EC: r2 + r + 1 = 0 1 3 1 3 1 3 Raízes : r1= − + i , r2= − – i ( raízes complexas ) α = − , β = 2 2 2 2 2 2 x x − −  3    2 sen  3 x  é a solução geral da edo. ...
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