Documento do mivcrosoft office word

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 8 (1886 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 19 de agosto de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
-------------------------------------------------
Matemática
-------------------------------------------------
Frente II
-------------------------------------------------
CAPÍTULO 22 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS

1 – INTRODUÇÃO

Aprendemos, até agora, a resolver equações do primeiro e do segundo grau. Nossa meta, neste capítulo, é encontrar maneiras de resolver equações degraus maiores, ou seja, equações do tipo:

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0

Nos capítulos anteriores, durante o estudo de polinômios, já estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios, são esses os seguintes:

Se P(x) é um polinômio de coeficientes reais e z=a+bi é raiz de P, então z=a-bi também é

E o corolário do teorema do resto visto no cap. 20:

Se Pa=0, então Pé divisível por x-a

Munidos destas propriedades e do teorema que veremos a seguir, seremos capazes de encontrar todas as raízes de muitos – mas não todos – os polinômios de grau maior sobre os quais não sabemos nenhuma informação.

2 – TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

O teorema fundamental da álgebra formaliza algo que já vínhamos utilizando naturalmente na solução de problemas depolinômios, e enuncia o seguinte:

Seja um polinômio

px=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

de grau n e x1,x2,…, xn as suas raízes (que não necessariamente são distintas). Então a forma fatorada de p(x) é dada por:

px=anx-x1x-x2…(x-xn)

Exercício Resolvido 1

Construir um polinômio, de coeficiente líder igual a 1, cujas raízes são 1,-1,2i e -2i

Resolução:
px=ax-x1x-x2x-x3(x-x4)

Coeficiente degrau líder = 1 significa a=1
Substituindo x1,x2,x3 e x4 pelas raízes dadas, vem:

px=1x-1x--1x-2ix+2i
px=x4+3x2-4

Exercício Resolvido 2

Sabendo que x=3 é uma raiz do polinômio abaixo:
px=2x3-4x2-10x+12

Fatore a expressão 2x3-4x2-10x+12

Resolução:

Como o polinômio é de grau 3, ele tem 3 raízes, dentre as quais 3 é uma delas. Podemos encontrar as outras duas utilizando relaçõesde Girard:

Soma das raízes:
x1+x2+3=--42=2→x1+x2=-1

Produto das raízes:

x1.x2.3=--122=-6→x1.x2=-2

Resolvendo o sistema, encontramos x1=-2 e x2=1, ou seja, as raízes do polinômio são -2,1 e 3, e como a3=3 (coeficiente líder do polinômio), a forma fatorada de p(x) é:

px=2x-3x+2(x-1)

Exercício Resolvido 3

Fatore o polinômio px=x3-4x2+4x

Resolução:

Primeiramente podemoscolocar x em evidência:
px=x(x2-4x+4)

Para fatorar x2-4x+4, devemos achar as suas raízes, ou seja, resolver a equação do segundo grau:
x2-4x+4=0

Na qual temos Δ=-42-4.1.4=0 e, portanto, suas duas raízes são iguais: x1=x2=2, ou seja, a forma fatorada é:

px=x.(x-2)(x-2)
px=xx-22

Exercício Resolvido 4

O polinômio p, de quarto grau, tem raízes 2,-2, 1,-3 Se p0=2, determine p(5)Resolução:

Se p(x) é do quarto grau e temos suas quatro raízes, podemos escrevê-lo como:
px=ax-2x--2x-1x--3
px=ax-2x+2x-1(x+3)

Podemos determinar a constante a utilizando o fato de que p0=2:
p0=2→a0-20+20-10+3=2
a=16
Assim: px=16x-2x+2x-1(x+3) e, portanto:
p5=165-25+25-15+3=112

3 – TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS

O teorema das raízes racionais enuncia o seguinte:

SejaPx=anxn+an-1xn-1…+a1x+a0 um polinômio de coeficientes INTEIROS. Se o número racional m/n é raiz de P, então m é divisor de a0 e n é divisor de an

Ou seja, se quisermos inspecionar as raízes racionais de um polinômio, devemos:

→ Determinar os divisores de a0
→ Determinar os divisores de an
→ Testar as combinações da forma:

divisores de a0divisores de an

Vejamos exemplos a seguir:

ExercícioResolvido 4

Ache as soluções de x3-5x2-17x+21

Resolução
Utilizando o teorema das raízes racionais, devemos inicialmente achar os divisores de a0 (que é 21) e de an (que vale 1):

→ Divisores de 21: ±1,±3,±7
→ Divisores de 1: ±1

Testando as divisões possíveis, devemos testar os números ±1,±3 e ±7:
→P1=13-5.12-17.1+21=0 (1 é raiz)
→P-1=-13-5.-12-17.-1+21=-2
(-2 não é raiz)...
tracking img