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Se a fun¸˜o derivada f (x) ´ deriv´vel podemos definir uma nova fun¸˜o f (x) tal que
ca
e
a
ca

f (x) = (f (x)) =

d2 f
(x).
dx2

De maneira an´loga e comas hip´teses convenientes, podemos sucessivamente definir as fun¸˜es derivada
a
o
co
terceira, quarta, ..., de ordem n.

Exemplo 1 f (x) = x5 − 3x4

f (x) =60x2 − 72x

f (4) (x) = 120x − 72

f (x) = 5x4 − 12x3

f (5) (x) = 120

f (x) = 20x3 − 36x2

f (n) (x) = 0 (n ≥ 6)

OBS: Se s (t) ´ a equa¸˜o de ummovimento, ent˜o v (t) = s (t) ´ a equa¸˜o da velocidade e a (t) = s (t) ´
e
ca
a
e
ca
e
equa¸˜o da acelera¸˜o.
ca
ca

Exemplo 2 De um bal˜o a 150m acima do solo,deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a resistˆncia
a
e
do ar, a distˆncia s(t) do solo ao saco de areia em queda, ap´s t segundos ´ dada por: s (t) =−4, 9t2 + 150.
a
o
e
Determinar a velocidade e a acelera¸˜o do saco de areia no instante em que ele toca o solo.
ca


2
 s (t) = −4, 9t + 150 m



v (t)= −9, 8t m/s




a (t) = −9.8 m/s2

No ch˜o, s(t) = 0:
a

s (t) = −4, 9t2 + 150 = 0 ⇒ t2 = 150/4, 9 = 30, 61 ⇒ t =

v (5, 53) = −9, 8 × 5, 53 = −54,19 m/s

a (5, 53) = −9, 8 m/s2



30, 61 = 5, 53s

Interpreta¸˜o geom´trica das derivadas primeira e segunda
ca
e

Exemplo 3 f (x) = (x − 2) (x + 1)2 =x3 − 3x − 2


 f (−2) = 9 > 0 (crescente)



2−3⇒
f (0) = −3 < 0 (decrescente)
f (x) = 3x




f (1) = 0 (m´
ınimo local)


 f (−2) = −12 <0 (concavidade para baixo ou convexo)



f (0) = 0 (ponto de inflex˜o)
a
f (x) = 6x ⇒




f (1) = 6 > 0 (concavidade para cima ou cˆncavo)
o
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