Distancia entre reta e plano e entre retas

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CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS
DE UMA RETA E UM PLANO
E
DE DUAS RETAS
4.1 Posições relativas de uma reta e um plano
r

As posições de uma reta r : X = R + t v r , t ∈ IR e um plano π são:
r
vr

R
a) r paralela a π
(r // π )

r
r


π
rr
r // π ⇔ v r ⋅ n π = 0 e R ∉ π
r


R

r
vr

r

b) r contida em π (r ⊂ π )

π

rr
r ⊂ π ⇔ vr ⋅ n π = 0 e R ∈ π

c) r eπ concorrentes

r


r
vr

P

(r ∩ π = {P} )
π

rr
r ∩ π = {P} ⇔ v r ⋅ n π ≠ 0

r

14

Caso particular:
r
vr

v


π
r

Exemplos:
1. Determine a interseção da reta r com o plano π, nos seguintes casos:
a) r : X = (1,6,2) + t (1,1,1) ; t ∈ IR
π: x − z − 3 = 0
b) r : x − 1 = y − 2 = 2 (z − 1)
π : X = h(6,2,1) + t (1,2,1); t, h ∈ IR
x = t

c) r :  y = −3 + 3t ; t ∈ IR
z = −t

π : x + y + 2z − 1 = 0

Solução:
r

r

a) v r ⋅ n π = (1,1,1) ⋅ (1,0,−1) = 0, logo, r ∩ π = r ou r ∩ π = φ .
Como R(1,6,2) é um ponto de r, verificamos que R ∉ π . Logo r ∩ π = φ .
r
 1 r
b) Sendo v r = 1,1,  e n π = (6,2,1) × (1,2,1) = (0,−5,10), temos que
 2
rr
v r ⋅ n π = 0 . Logo, r ∩ π = r ou r ∩ π = φ . Como R(1,2,1) é um ponto de
r, verificamosque R ∈ π . Logo r ⊂ π e consequentemente r ∩ π = r.

15

r

r

b) De v r ⋅ n π = (1,3,−1) ⋅ (1,1,2) = 2 ≠ 0 concluímos que r e π são
concorrentes. Seja r ∩ π = {P} = {( a, b, c)} . Temos então:

(1) a + b + 2c − 1 = 0.

a = t

(2) b = −3 + 3 t , para algum escalar t .
c = − t


De (1) e (2) obtemos t = 2 e P( 2,3,−2) .

2. Determine uma equação da reta r que passa peloponto A(1,0,−2) e é
paralela aos planos α : 2x − y + 2 = 0 e β : x + z − 3 = 0.

Solução:

r
r
r
r
r
r
Como r //α e r // β, temos v r ⊥ n α e v r ⊥ n β . Sendo n α e n β LI,
r
r
r
temos que vr // n α × n β . Assim podemos considerar
r
r
r
vr = n α × n β = (1,01) × (2,−1,0) = (1,2,−1) .
Daí uma equação vetorial da reta r é:
r : X = (1,0, −2) + t (1,2, −1); t ∈ IR

4.2Posições relativas de duas retas
Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são
coplanares . Caso contrário são denominadas reversas.
As retas coplanares podem ser paralelas (distintas ou coincidentes) ou
concorrentes.

16

Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser:
Coplanares
w Concorrentes : r1 ∩ r2 = {P}
r1

π

P
r2

w Paralelas:
w Distintas : r1

∩ r2 = φ

wCoincidentes : r1

π

r1

≡ r2

π
r1 ≡ r2

r2

Reversas

r1
P
r2

π

Estabeleceremos a seguir condições para a identificação da posição
relativa de duas retas.
r

r

Considere as retas r : X = R + h v r e s : X = S + t v s ; h, t ∈ IR .

→r
r
Se r e s são coplanares então os vetores RS, v r e vs são coplanares e
→r r
→r r
portanto [ RS, v r , vs ] = 0. Reciprocamente, se [RS, v r , vs ] = 0 podemos
ter:

r

r

i) v r // v s , nesse caso r e s são paralelas, logo coplanares.

17

r

r

ii) v r e v s LI, nesse caso

→r
r
r
r
RS, vr e vs são LD. Como v r e v s são


linearmente independentes, então podemos escrever RS como
r
r
combinação linear de v r e v s . Logo, existem escalares ho e to tais que
r
r
r
r
S = R + h o v r + t o v s. Assim, o plano β : X = R + h v r + t v s ; h, t ∈ IR ,
contém as retas r e s, que portanto são coplanares. Observemos ainda
que, neste caso as retas são concorrentes.
Um caso particular de retas concorrentes
são as retas perpendiculares. Observemos
que se duas retas r e s são perpendiculares
rr
então v r ⋅ v s = 0 .

r
vs

r
vr

r

P
s

π

Exemplos
1. Estude a posiçãorelativa dos seguintes pares de retas:
2x − y − z + 2 = 0
a) r : 
 x + 3y − z + 2 = 0

e s : X = (1,0,2) + h (1,−3,7); h ∈ IR

x = h
1− x y

b) r :  y = 1 − h ; h ∈ IR e s :
= =z−8
2
3
 z = 4 + 4h


x −3
z − 12
= y− 2=
5
9
x = 4

d) r : X = ( 4,−3,1) + h (0,2,1); h ∈ IR e s :  y = −1 − 2t ; t ∈ IR
z = 3 − t

c) r : X = ( −2,1,3) + t ( −10,−2,−18) ; t ∈ IR e...
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