Calculo varias variaveis

Retas, Planos e Distâncias

RETAS
1) Equação Vetorial da Reta No espaço R2

Como no enunciado nos foram dados o ponto A e as coordenadas do vetor diretor, logo podemos substituir as informações na formula de equação vetorial: A(3,0,-5) e = (2,2,-1)

P= (3,0,-5) + (2,2,-1)t P= (3,0,5) + (2t,2t,-1t) P=(3+2t, 2t, 5-t) que é equação vetorial da reta r procurada. 2) Equações paramétricas Uma reta fica perfeitamente definida se conhecermos um de seus pontos e uma direção paralela a ela. Sejam então: A(xo, yo) um ponto da reta, u = (a, b) um vetor paralelo à reta e P(x, y) um ponto genérico dessa reta. Como a reta r é paralela ao vetor u, podemos escrever: P - A = t .u  (x - xo, y - yo) = t.(a, b)  x - xo = ta e y - yo = tb  que são as equações paramétricas da reta. Exemplo: 1) Defina as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3,-1,2) e é paralela ao vetor =(3,-2,1) Solução: Ponto: A(3,-1,2) Vetor diretor: =(-3,-2,1) Substituindo paramétrica as informações na equação

Seja Se I) II) //

um ponto qualquer de . Se → =t ,t =A+t .

tem a // .

mesma direção de , podemos afirmar que

As equações I e II representam a equação vetorial da reta . O vetor que dá direção a reta é chamado vetor diretor. No espaços R3

Exemplo: 1) Escrever a equação da reta que passa pelo ponto (2, -4) cuja direção é definida pelo vetor (5, 3). Solução: Temos o ponto (2,-4) e o vetor diretor da reta (5,3) Logo, para encontrarmos a equação, basta substituir na fórmula: P=Q + t P=(2,-4) +(5,3)t P=(2,4) + (5t,3t) P= (2+5t, 4+3t) que é a equação vetorial da reta que pertence ao espaço R2 2) Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a direção do vetor Solução: A equação vetorial é dada por: P = Q +

teremos:

Condição para que três pontos estejam em linha reta Para que três pontos estejam em linha reta é necessário que os vetores sejam colineares, isto é: .

t.

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3) Equação segmentária Eliminando o