Calculo varias variaveis

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Retas, Planos e Distâncias

RETAS
1) Equação Vetorial da Reta No espaço R2

Como no enunciado nos foram dados o ponto A e as coordenadas do vetor diretor, logo podemos substituir as informações na formula de equação vetorial: A(3,0,-5) e = (2,2,-1)

P= (3,0,-5) + (2,2,-1)t P= (3,0,5) + (2t,2t,-1t) P=(3+2t, 2t, 5-t) que é equação vetorial da reta r procurada. 2) Equações paramétricas Umareta fica perfeitamente definida se conhecermos um de seus pontos e uma direção paralela a ela. Sejam então: A(xo, yo) um ponto da reta, u = (a, b) um vetor paralelo à reta e P(x, y) um ponto genérico dessa reta. Como a reta r é paralela ao vetor u, podemos escrever: P - A = t .u  (x - xo, y - yo) = t.(a, b)  x - xo = ta e y - yo = tb  que são as equações paramétricas da reta. Exemplo: 1) Definaas equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3,-1,2) e é paralela ao vetor =(3,-2,1) Solução: Ponto: A(3,-1,2) Vetor diretor: =(-3,-2,1) Substituindo paramétrica as informações na equação

Seja Se I) II) //

um ponto qualquer de . Se → =t ,t =A+t .

tem a // .

mesma direção de , podemos afirmar que

As equações I e II representam a equação vetorial da reta . O vetor que dádireção a reta é chamado vetor diretor. No espaços R3

Exemplo: 1) Escrever a equação da reta que passa pelo ponto (2, -4) cuja direção é definida pelo vetor (5, 3). Solução: Temos o ponto (2,-4) e o vetor diretor da reta (5,3) Logo, para encontrarmos a equação, basta substituir na fórmula: P=Q + t P=(2,-4) +(5,3)t P=(2,4) + (5t,3t) P= (2+5t, 4+3t) que é a equação vetorial da reta que pertenceao espaço R2 2) Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a direção do vetor Solução: A equação vetorial é dada por: P = Q +

teremos:

Condição para que três pontos estejam em linha reta Para que três pontos estejam em linha reta é necessário que os vetores sejam colineares, isto é: .

t.

Retas, Planos e Distâncias
3) Equação segmentária Eliminando ovalor de  nas equações paramétricas obtém-se: ou que é a equação segmentária da reta. Nesta forma, (a, b) é um vetor paralelo à reta e (x0, y0) é um ponto conhecido. 4) Equações Simétricas Das equações paramétricas temos: Esta forma é chamada equação geral da reta. Se considerarmos dois vetores (A, B) e (a, b), seu produto escalar é Aa + Bb. Como foi feito A = b e B = -a, teremos: Aa + Bb = ba +(-a)b = ba - ab = 0  (A, B) é perpendicular a (a, b). Como (a, b) é paralelo à reta, podemos concluir que (A,B) é um vetor perpendicular à reta Ax + By + C = 0. 7) Retas Paralelas aos planos e aos eixos coordenados Seja a reta r dada pelas equações paramétricas Logo, simétricas de . , que são equações

 x  x1  at  r :  y  y1  bt , t  R  z  z  ct 1 
1) Considere nula a 1ªcomponente do vetor diretor da reta, assim: Então as equações simétricas da reta r ficam:

5) Equação reduzida Da equação segmentária da reta, tiramos bx - bxo = ay - ayo  ay = bx - bxo + ayo  y = (b/a)x + (ayo bxo). Fazendo b/a = m e ayo - bxo = h, resulta: y = mx + h . Esta forma de apresentação da equação da reta é chamada de forma reduzida. Observe que m = b/a é a tangente do ângulo que o vetor (a,b) forma com o eixo positivo dos x. O coeficiente m (= b/a) é chamado de inclinação, ou coeficiente angular ou declividade da reta. Além disso, se fizermos x = 0, resulta y = h, de onde se conclui que (0, h) é o ponto onde a reta corta o eixo vertical. O parâmetro h é chamado de parâmetro linear da reta. Com relação ao vetor que define a direção da reta, podemos escrever (1, b/a) = (1, m) éparalelo a a.(1, b/a) = (a, b). Ou seja, o vetor (1, m) é paralelo à reta y = mx + h. 6) Equação geral Da expressão bx - bxo = ay - ayo podemos obter bx + (-a)y + ayo - bxo = 0. Substituindo b por A, (-a) por B e ayo - bxo por C, a igualdade anterior fica Ax + By + C = 0.

2) Considere nula a 2ª componente do vetor diretor da reta, assim:

Retas, Planos e Distâncias
E para x ser perpendicular a...
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