Disco de maxwell

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Mecânica e Ondas
Trabalho I
Conservação da Energia Mecânica da Roda de Maxwell
Objectivo
Determinação do momento de inércia da roda de Maxwell. Estudo da transferência de
energia potencial em energia de translação e de rotação.
1. Introdução
O sistema a estudar está ilustrado nas fotos da figura 1 e consiste numa roda suspensa

Figure 1: Foto da montagem a utilizar
por dois fiosenrolados e que ao ser largada irá cair desenrolando os fios do seu eixo.
No fundo esta montagem ilustra o princípio de operação do bem conhecido brinquedo
infantil “iô-iô”. A roda está inicialmente travada por uma ponta metálica que ao soltar
a roda irá accionar um cronómetro para medir o tempo de queda. No fim do percurso
a roda cortará o feixe luminoso do sistema de cronómetro/célula fotoeléctrica(Lb)
Mecânica e Ondas – Conservação de energia mecânica (2º semestre 2007) (Versão 2)

1

que fará parar a contagem do tempo. Este sistema Lb pode também medir a
velocidade “instantânea” da roda ao cortar o feixe luminoso.
Alterando a posição do sistema Lb podemos medir o tempo que a roda demora
a cair uma determinada distância e a velocidade que esta atinge nessa posição.

Figura 2:Esquema da ligação do sistema cronómetro/célula fotoeléctrica (Lb)
1.1 Transferência de energia na queda
A energia total E do disco de Maxwell pode ser expressa como a soma da
energia potencial (Ep), energia cinética de translação (ET) e energia cinética de rotação
(Er). Se o disco tiver a massa m e o momento de inércia Iz no seu eixo de rotação,
podemos escrever as seguintes igualdades:

Irr r mr
(1)
E = E p + ET + E r = m " g " s + v 2 + z # 2
2
2
r
r
r
onde " representa a velocidade angular, v é a velocidade de translação, g é a
r
aceleração da gravidade e s é a altura (negativa).
!
!

!

!

!

r
r
Figura 3: Relação entre a variação angular d" e a diminuição da altura d s na
roda de Maxwell.
Mecânica e Ondas – Conservação de energi! mecânica (2º semestre2007) ! ersão 2)
a
(V

2

r
Como a relação entre a variação do ângulo " e a altura da roda é dado pelo
r
raio r do eixo da roda de Maxwell onde os fios estão enrolados (ver Figura 3)

rr
r
d s = d" # r
!
!

e

r
r
r d s d" r r r
=
# r = $ # r.
!v=
dt
dt

(2)

(3)

r
r
r
r
Neste caso g é paralelo a s e " é perpendicular a r , e portanto o produto
r rr
rr
!interno g " s e o módulo do produto externo v = " # r (eq. 3) podem escrever-se da
forma
rr
g " s = #g s !
!!
!
(4)
r
!
! v =$ r

Energia total do sistema definida em (1) toma a forma

!

E = "m g s( t ) +

1
(m + Iz r 2 )(v (t ))2
2

(5)

Como de acordo com o “princípio da conservação da energia” a energia total E é
constante ao longo do tempo, a sua derivada em ordem aotempo tem de ser nula:
!
dE
ds( t )
dv ( t )
.
(6a)
= 0 = "m g
+ ( m + I z r 2 )v ( t )
dt
dt
dt
ou seja
ds( t )
ds( t ) d 2 s( t )
(6b)
0 = "m g
+ ( m + Iz r 2 )
dt
dt
dt 2
!
A equação do movimento s(t) pode ser obtida da eq. (6b). Para tal basta pensar que
para satisfazer a eq. (6b) s(t) tem de ser escrever da forma s( t ) = at 2 + bt + c . Sabendo
!
que as condições t=0são s(0) = 0 e v (0) = 0 podemos obter
s( t ) =

1 mg
2
!
2t
2 m + Iz r

(7)

v(t) =

ds
mg
=
t
dt m + Iz r 2

(8)

!

e
!

Na montagem da Figura 1 a massa m da roda de Maxwell é m = 0.436 kg e o raio seu
eixo r é r = 2.5 mm.
!

Mecânica e Ondas – Conservação de energia mecânica (2º semestre 2007) (Versão 2)

3

Da equação (7) pode ser utilizada para determinar omomento de inércia Iz a partir do
ajuste de uma função tipo Y = A XB aos pontos definidos por um conjunto de pares de
valores (Y , X ) = ( s, t ) como no exemplo da Figura 4.

!

Figura 4: Variação de s com t. Recta obtida por ajuste segundo o
método dos mínimos quadrados
Sabendo o momento de inércia Iz com a equação (8) podemos determinar a velocidade
de translação da roda em função do...
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