Dimensionamento de engrenagens

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SOLUÇÃO

DE

EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

POR

DIFERENÇAS FINITAS-JM Balthazar- Maio 2003

1

Resolvendo um Problema de Condução de Calor

Para introduzir o método das diferenças finitas de uma forma prática, vamos considerar um problema de condução estacionária de calor em uma barra delgada – Figura 1.

Suas

extremidades

são

mantidas

a

temperaturas

constantes e seucorpo troca calor convectivamente com o meio. Neste caso o conjunto de equações que descrevem o problema é o seguinte:

d 2 T( x ) AK ⋅ − Ph ⋅ (T( x ) − T∞ ) = 0 2 dx
p/ 0≤x≤1 T(0) = TA T(l) = TB p/ x = 0 p/ x = l

Os parâmetros são a área da seção transversal A, a condutividade do material K, o perímetro P, o coeficiente da transferência convectiva h e a temperatura ambiente T∞.

Figura1

Neste ponto temos a opção de escolher entre dois caminhos para encontrar a solução.

O primeiro deles consiste em utilizar métodos analíticos de solução. Este procedimento produz resultados de excelente precisão, porém é limitado ao pequeno número de casos em que pode ser aplicado.

A Segunda opção refere-se ao emprego de métodos numéricos que são de aplicação bastante ampla e produzemresultados satisfatórios. Dentre estes podem ser citados o método das diferenças finitas, elementos finitos, elementos de contorno e muitos outros. Os resultados precisam ser visualizados gráficamente.

Para obtermos a solução por diferenças finitas vamos inicialmente realizar uma partição regular na região em que estamos estudando a condução de calor – Figura 2. Desta forma trabalharemos com umintervalo

Figura 2 formado por um conjunto discreto de pontos ou nós xi e não com um intervalo contínuo. A cada nó xi podemos associar os valores Ti = T(xi) da função T(x), que representa a distribuição da temperatura ao longo da barra. Se os parâmetros do problema variarem ao longo da barra, da mesma forma apoderemos associar os valores nodais Ai = A(xi), Ki = K(xi), Pi = P(xi) e hi = h(xi). Opróximo passo consiste em reescrever todas as equações do problema em termos dos parâmetros nodais. Este procedimento consiste em linhas gerais no que se denomina discretização do problema e pode ser feito de diversas maneiras.

Uma das maneiras de se realizar a discretização, no caso de problemas de 2ª ordem, correspondente ao método das diferenças finitas, consiste em tomar três pontosconsecutivos da função incógnita, neste caso da temperatura T(x) - Figura 3.

Figura 3 Passemos por
2

eles

a

parábola

P (x − x i ) = a ⋅ (x − x i ) + b ⋅ ( x − x i ) + c
Para determinar seus coeficientes devemos impor que P(x) interpole os pontos escolhidos, ou seja

P(x i −1 − x i ) = a ⋅ (x i −1 − x i ) + b ⋅ (x i −1 − x i ) + c = Ti −1
2

P(x i +1 − x i ) = a ⋅ (x i +1 − x i ) +b ⋅ ( x i +1 − x i ) + c = Ti +1
2

P (x i − x i ) = a ⋅ (x i − x i ) + b ⋅ (x i − x i ) + c = Ti
2

Considerando porém a malha regular, simplificação conveniente mas não obrigatória, as equações podem se reescritas

P(− ∆ ) = a ⋅ (− ∆ ) + b ⋅ (− ∆ ) + c = Ti −1
2

P(+ ∆ ) = a ⋅ (+ ∆ ) + b ⋅ (+ ∆ ) + c = Ti +1
2

P(0) = a ⋅ (0) 2 + b ⋅ (0) + c = Ti
A solução deste sistema deequações fornece os seguintes valores para os coeficientes da parábola:
Ti−1 − 2 ⋅ Ti + Ti+1 b = Ti +1 − Ti −1 a= , 2⋅∆ , 2 ⋅ ∆2

c = Ti

A essência do método das diferenças finitas consiste em aproximar as derivadas de T(x) pelas derivadas de P(x), o que será tanto melhor quanto menor for o incremento ∆. Assim sendo:

dT ≅ P′(0) dx i

e

d 2T ≅ P ′′(0) 2 dx i

Efetuando as derivaçõesnecessárias e substituindo os coeficientes determinados anteriormente, resultam expressões que aproximam as derivadas de T(x) em função de valores nodais desta mesma função. Estas expressões podem ser também vistas como operadores uma vez que transformam o problema do cálculo no domínio contínuo para um domínio discretizado. Tais operadores para o presente caso são:

Ti +1 − Ti −1 dT ≅ dx i 2⋅∆...
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