Devidas

Instituto Superior T´cnico e Departamento de Matem´tica a ´ Sec¸˜o de Algebra e An´lise ca a

Exerc´ ıcios Resolvidos Derivadas

Exerc´ ıcio 1 Considere a fun¸˜o f : R2 \{(0, 0)} → R definida pela express˜o ca a  2  xy sin(x2 + y 2), (x, y) = (0, 0), f (x, y) = (x2 + y 2)2  0, (x, y) = (0, 0). Calcule as derivadas parciais ∂f (1, 0) ; ∂x ∂f (0, 0). ∂y

Resolu¸˜o: Para calcular ca mos

∂f (1, 0) ∂x

podemos simplesmente derivar f em ordem a x e obte-

2xy(x2 + y 2 )2 − 2x2 y(x2 + y 2)2x x2 y ∂f (x, y) = sin(x2 + y 2) + 2 2x cos(x2 + y 2) ∂x (x2 + y 2)4 (x + y 2 )2 e, portanto, ∂f (1, 0) = 0. ∂x Para calcular a segunda derivada parcial usamos a defini¸˜o e obtemos ca ∂f f (0, h) − f (0, 0) (0, 0) = lim = 0. h→0 ∂y h

Exerc´ ıcio 2 Considere a fun¸˜o f (x, y) = ca a) Calcule a derivada de f no ponto (0, 1).

x2 + y 2 .

b) Calcule a derivada de f no ponto (1, 0) segundo o vector v = (1, 1).

Resolu¸˜o: ca

a) Sendo

∂f (x, y) = ∂x

x x2 + y2

e

∂f (x, y) = ∂y f (0, 1) =

y x2 + y2

, temos, = (0, 1).

Df (0, 1) = b) Dv f (1, 0) =

∂f ∂f (0, 1), (0, 1) ∂x ∂y

f (1, 0) · v = (1, 0) · (1, 1) = 1

Exerc´ ıcio 3 Considere a fun¸˜o f (x, y) = ln(x2 + y 2). ca a) Caracterize topologicamente o dom´ ınio de f. b) Descreva os conjuntos de n´ de f. ıvel c) Calcule a derivada de f no ponto (0, 1). d) Calcule as derivadas direccionais de f no ponto (1, 0).

Resolu¸˜o: ca a) Dado que deveremos ter x2 + y 2 > 0, o dom´ ınio de f ´ o conjunto aberto, n˜o limitado e a 2 e conexo R \ {(0, 0)}. b) Cada conjunto de n´ Cα de f ser´ caracterizado pela condi¸˜o f (x, y) = α, em que ıvel a ca α ∈ R. Assim, teremos Cα = {(x, y) ∈ R2 : ln(x2 + y 2 ) = α} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = eα } e, portanto, os conjuntos de n´ de f ser˜o as circunferˆncias centradas na origem. ıvel a e c) Note-se que as derivadas parciais de f s˜o cont´ a ınuas no dom´ ınio de f e, portanto, a fun¸˜o f ´ diferenci´vel e a sua derivada no ponto (0, 1) ser´ representada pela