Devidas

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Instituto Superior T´cnico e Departamento de Matem´tica a ´ Sec¸˜o de Algebra e An´lise ca a

Exerc´ ıcios Resolvidos Derivadas

Exerc´ ıcio 1 Considere a fun¸˜o f : R2 \{(0, 0)} → R definida pela express˜o ca a  2  xy sin(x2 + y 2), (x, y) = (0, 0), f (x, y) = (x2 + y 2)2  0, (x, y) = (0, 0). Calcule as derivadas parciais ∂f (1, 0) ; ∂x ∂f (0, 0). ∂y

Resolu¸˜o: Para calcular ca mos∂f (1, 0) ∂x

podemos simplesmente derivar f em ordem a x e obte-

2xy(x2 + y 2 )2 − 2x2 y(x2 + y 2)2x x2 y ∂f (x, y) = sin(x2 + y 2) + 2 2x cos(x2 + y 2) ∂x (x2 + y 2)4 (x + y 2 )2 e, portanto, ∂f (1, 0) = 0. ∂x Para calcular a segunda derivada parcial usamos a defini¸˜o e obtemos ca ∂f f (0, h) − f (0, 0) (0, 0) = lim = 0. h→0 ∂y h

Exerc´ ıcio 2 Considere a fun¸˜o f (x, y) = ca a) Calcule aderivada de f no ponto (0, 1).

x2 + y 2 .

b) Calcule a derivada de f no ponto (1, 0) segundo o vector v = (1, 1).

Resolu¸˜o: ca

a) Sendo

∂f (x, y) = ∂x

x x2 + y2

e

∂f (x, y) = ∂y f (0, 1) =

y x2 + y2

, temos, = (0, 1).

Df (0, 1) = b) Dv f (1, 0) =

∂f ∂f (0, 1), (0, 1) ∂x ∂y

f (1, 0) · v = (1, 0) · (1, 1) = 1

Exerc´ ıcio 3 Considere a fun¸˜o f (x, y) =ln(x2 + y 2). ca a) Caracterize topologicamente o dom´ ınio de f. b) Descreva os conjuntos de n´ de f. ıvel c) Calcule a derivada de f no ponto (0, 1). d) Calcule as derivadas direccionais de f no ponto (1, 0).

Resolu¸˜o: ca a) Dado que deveremos ter x2 + y 2 > 0, o dom´ ınio de f ´ o conjunto aberto, n˜o limitado e a 2 e conexo R \ {(0, 0)}. b) Cada conjunto de n´ Cα de f ser´ caracterizado pelacondi¸˜o f (x, y) = α, em que ıvel a ca α ∈ R. Assim, teremos Cα = {(x, y) ∈ R2 : ln(x2 + y 2 ) = α} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = eα } e, portanto, os conjuntos de n´ de f ser˜o as circunferˆncias centradas na origem. ıvel a e c) Note-se que as derivadas parciais de f s˜o cont´ a ınuas no dom´ ınio de f e, portanto, a fun¸˜o f ´ diferenci´vel e a sua derivada no ponto (0, 1) ser´ representada pelamatriz ca e a a Df (0, 1) =
∂f (0, 1) ∂x ∂f (0, 1) ∂y

=

2x x2 +y 2

2y x2 +y 2

(0,1)

=

0 2 .

Alternativamente, teremos Df (0, 1) = f (0, 1) = (0, 2).

d) Seja w = (u, v) ∈ R2 um vector unit´rio qualquer. Ent˜o, a derivada de f segundo w a a ser´ dada por a Dw f (1, 0) =
2x x2 +y 2 2y x2 +y 2 (1,0)

u v

=

2 0

u v

= 2u

2

Exerc´ ıcio 4 Considere a fun¸˜o f(x, y, z) = ex yz e seja g : R2 → R3 uma fun¸˜o de ca ca 1 classe C tal que g(0, 0) = (0, 1, 2) e   1 2 Dg(0, 0) = 3 4 0 1 Calcule a derivada direccional Dv (f ◦ g)(0, 0) em que v = (1, 2).

Resolu¸˜o: Pelo Teorema da Fun¸˜o Composta temos ca ca D(f ◦ g)(0, 0) = Df (g(0, 0)Dg(0, 0) = Df (0, 1, 2)Dg(0, 0) =   1 2 ∂f (0, 1, 2) ∂f (0, 1, 2) ∂f (0, 1, 2) 3 4 . ∂x ∂y ∂z 0 1

Dado que

∂f∂f ∂f = ex yz , = ex z , = ex y, ent˜o a ∂x ∂y ∂z   1 2 D(f ◦ g)(0, 0) = 2 2 1 3 4 = 8 13 . 0 1 √ Sendo v = 5, obtemos v Dv (f ◦ g)(0, 0) = D(f ◦ g)(0, 0) v = 8 13
1 √ 5 2 √ 5

√ 8 + 26 34 5 √ = = 5 5

Exerc´ ıcio 5 Considere as fun¸˜es: co f (x, y, z) = (z, −x2 , −y 2 ) e g(x, y, z) = x + y + z. Sejam v = (1, 2, 3) e u = (2, 3, 1 ). 2 3

a) Calcule as matrizes Jacobianas de f , g e g ◦f . b) Calcule as seguintes derivadas direccionais: ∂f ∂g ∂(g ◦ f ) ∂f (1, 1, 1), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (2, 0, 1). ∂v ∂u ∂v ∂u c) Determine a direc¸˜o de crescimento m´ximo de g ◦ f no ponto (1, 0, 1). ca a d) Determine a recta normal ao parabol´ide o P = {(x, y, z) ∈ R3 : z − x2 − y 2 = 3}, no ponto (1, 1, 5).

Resolu¸˜o: ca a) Temos,  0 0 1 Df (x, y, z) =  −2x 0 0  , 0 −2y 0 Dg(x, y, z) = 11 1 . 

e

Temos tamb´m, g ◦ f (x, y, z) = g(f (x, y, z)) = z − x2 − y 2, pelo que e D(g ◦ f )(x, y, z) = −2x −2y 1 .

Note-se que as derivadas parciais de f, g, g ◦ f s˜o cont´ a ınuas pelo que estas fun¸˜es s˜o co a diferenci´veis. a b) Temos:      0 0 1 1 3 ∂f (1, 1, 1) = Df (1, 1, 1) · v =  −2 0 0  ·  2  =  −2  ; ∂v 0 −2 0 3 −4     1  0 0 1 2 2 ∂f (0, 0, 1) = Df...
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