Determinantes

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2. DETERMINANTES
É a resolução de matrizes quadradas associadas a um sistema de equações lineares.

2.1 Determinante de matriz quadrada de 1ª ordem
O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem é sempre igual a diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal, pelo produto dos elementos da diagonal secundária.

[pic]


Exemplo : Calcule o determinante damatriz de ordem 2.

a) [pic]

b) [pic]

2.2 Determinante de matriz quadrada de ordem 3.

2.2.1 Regra de Sarrus

O determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem é obtido pela regra de Sarrus.
A regra de Sarrus: Dada uma matriz quadrada A, de ordem 3, para calcularmos o seu determinante, basta repetirmos ao lado da 3ª coluna as duas primeiras colunas de A e adicionarmos o produto dadiagonal principal com as suas paralelas e subtrairmos o produto da secundária e de suas paralelas.
[pic]

Exemplo: Determine o determinante da matriz de ordem 3.
a) [pic]
a) [pic]


2.3 Regra de Laplace
Para definir o determinante de matrizes quadradas [pic] para [pic], introduzimos o conceito de menor complementar e cofator.
Definição: Dada uma matriz [pic] o menor complementar doelemento aij, denotado [pic], é a submatriz (n – 1) x ( n – 1) obtida de A eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.

Exemplo:
Se [pic], então

Definição: Dada uma matriz [pic] o cofator do elemento aij, denotado por Aij, é o número

[pic]
Exemplo:

Se [pic] então


2.3.1 Regra
Definição: Seja [pic], o determinante de A, denotado det A, é o número definido por[pic]



Exemplo:
1) Calcule o determinante de ordem igual a 3, ou de ordem superior a 3 , utilizando o método de cofatores.
a) [pic]

b) [pic]
Igualmente, se pode calcular um determinante de ordem n = 5, 6, 7, ..., 10,..., 20 etc. desenvolvendo-o por uma linha ou por uma coluna, pelo mesmo processo que se calcula um determinante de 4ª ordem. Entretanto esse processo, por envolver umnúmero excessivo de operações, torna-se quase impraticável, sendo necessário o auxílio do computador.

2.3 Propriedades dos determinantes

I) Se a matriz A possui uma linha ( ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o determinante é nulo.
Ex.: [pic]
II) Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo.
Ex.: [pic]
III) Se na matriz A duas linhas (ouduas colunas) têm seus elementos correspondentes proporcionais, o determinante é nulo ( dois elementos são correspondentes quando, situados em linhas diferentes, estão na mesma coluna, ou quando, situados em colunas diferentes, estão na mesma linha.
Ex.: [pic]
[pic]

IV) Se na matriz A cada elemento de uma linha ( ou coluna) é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode serexpresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes.
Ex.: [pic]



V) Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da primeira matriz.
Ex.: [pic], temos det M = - 5.

Trocando de posição, por exemplo, a 2ª e a 3ª coluna de M, obtemos a matriz [pic]o determinante é igual a5, que é o oposto do det M.
VI) Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) por um número real k, então o determinante da nova matriz é o produto de k pelo determinante da primeira matriz.
[pic] temos det A = 20.

Escolhendo, por exemplo, a 1ª coluna de A e dividindo os seus elementos por 5 ( o que equivale a multiplicá-los por [pic]), obtemos a matriz [pic].det B = 4 ou seja, [pic] det A.


VII) Se todos os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmo lado da diagonal principal forem nulos, o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

[pic], det N = (- 1). 5 . 4 = - 20 [pic] det N = - 20


VIII) O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At , ou seja, det A...
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