Determinante TEORIA

Álgebra Linear

Determinantes

Prof. Flávio B. Bertasso

DETERMINANTES :

1 Introdução
O determinante é um número real associado a toda matriz quadrada A=[a ij] , segundo uma determinada lei. A notação para o determinante da matriz

2 3
2 3 será det A ou
A

0 5
0 5

2. Determinante de primeira ordem :

A  a11   det A  a11

ou

a11  a11

Exemplos :

 

a) A  3 , det A= -3



b) B  5

,

5 5

3. Determinante de segunda ordem :

a11
A
a21

a12 
 det A  a11a22  a12 a21 a22 

Exemplos:

2
5

a) A  

b)

1
, det A= 6 – 5 = 1
3

3 2
 15  ( 2)  17
1 5

4. Determinante de terceira ordem :

a11 a12 a13 
A  a21 a22 a23 
a31 a32 a33 

-1-

Álgebra Linear

Determinantes

Regra de Sarrus :

P4

a 11

a12

a21

a22

a31

a32

.

P5

a13

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a11

a12

a23

a21

a22

a33

a31

a32

P6

P1

P2

P3

det A = P1 + P2 + P3 – P4 – P5 – P6

Exemplo :

 5 0

a) A  1  2

 3 6

2
4 
1 

-12

5

0

2

5

0

-1

-2

4

-1

-2

3

6

1

3

6

12 0

0

-10

0

-12

det A = - 10 + 0 - 12 + 12 - 120 - 0 = -130

1 2
b) 5 0
4 2

3
6  170
8

5. COFATOR
Seja A=[aij] uma matriz quadrada de ordem n  2 . Cofator de aij  A é o produto de (-1)

i j

determinante da matriz que se obtém de A, suprimindo a linha de ordem i e a coluna de ordem j .
Notação: cij
Exemplos:

 2 3

1 5

a) A  

c11  (1)11 . 5  5, c12  (1)1 2 .  1  1

c21  ( 1)21. 3   3

, c22  ( 1)22 . 2  2

pelo

Álgebra Linear

Determinantes

 1 3 4


b) A  2 0 5


 7 6 8

c32  ( 1)32 .

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1 4
 1.(5  8)  13
2 5

6. Determinante de ordem n  2

Teorema de Laplace.
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n  2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna)pelos respectivos cofatores.
Nota : É mais prático considerar a fila que contém o maior número de zeros.
Exemplos :

 1 3 4


a) A  2 0 5


 7 6 8

c12  ( 1)12 .

det A = 3 . C12 + 0 .