derivaçao de funcoes

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Limites e Derivadas

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2.4

A Definição Precisa de um Limite

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A Definição Precisa de um Limite
A definição intuitiva de limite é inadequada para alguns propósitos, pois frases como “x está próximo de 2” e “f ( x) aproxima-se cada vez mais de L” são vagas.
Para sermos capazes de demonstrar conclusivamente que ou devemos tornar precisa a definição de limite.

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A Definição Precisa de um Limite
Para chegar à definição precisa de limite, consideremos a função É intuitivamente claro que quando x está próximo de 3, mas x ≠ 3, então f (x) está próximo de 5 e, sendo assim, limx 3f (x) = 5.
Para obter informações mais detalhadas sobre como f (x) varia quando x está próximo de 3, fazemos a seguinte pergunta: Quão próximo de 3 deverá estar x para que f (x) difira de 5 por menos que 0,1?
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A Definição Precisa de um Limite
A distância de x a 3 é | x – 3 | e a distância de f (x) a 5 é
| f (x) – 5 |, logo, nosso problema é achar um número tal que | f ( x) – 5 | < 0,1

se

|x – 3| <

mas x ≠ 3

Se | x – 3 | > 0, então x ≠ 3, portanto uma formulação equivalente de nosso problema é achar um número tal que | f ( x) – 5 | < 0,1

se

0 < |x – 3| <
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A Definição Precisa de um Limite
Observe que, se 0 < | x – 3 | < (0,1)/2 = 0,05, então
| f ( x) – 5 | = | (2x – 1) – 5 | = | 2x – 6 | = 2| x – 3 | < 2(0,05) = 0,1 isto é,
| f ( x) – 5 | < 0,1

se

0 < | x – 3 | < 0,05.

Assim, uma resposta para o problema é dada por = 0,05; isto é, se x estiver a uma distância de no máximo 0,05 de 3, então f ( x) estará a uma distância de no máximo 0,1 de 5.

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A Definição Precisa de um Limite
Se mudarmos o número 0,1 em nosso problema para o número menor 0,01, então, usando o mesmo método, achamos que f ( x) diferirá de 5 por menos que 0,01, desde que x difira de 3 por menos que (0,01)/2 =