Derivadas e integrais

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FACULDADE DE JARAGUÁ DO SUL – ANHANGUERA

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Professor: Juscelino Shindsi Sakai
Engenharia Mecânica 3ª fase
Disciplina: Calculo II



Pesquisa sobre
Definições e Aplicações
de
Derivadas e Integrais

Jaraguá do Sul, 09 de Maio de 2012
Derivadas definições e suas aplicações
Derivadas definição

A derivada de uma função y = f(x) numponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. |

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:

    y' , dy/dx  ou f ' (x).
    A derivada de uma função f(x)no ponto x0 é dada por:
   
 
Algumas derivadas básicas

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante
  
Derivada da potência.

Portanto:

Soma / Subtração.

 
Produto por uma constante.

 
Derivada do produto.

 
Derivada da divisão.

 
Potência de uma função.

 
Derivada de uma função composta.

Regrada cadeia.
A fórmula:
 
 É conhecida como regra da cadeia. Ela pode ser escrita como: 

Outra fórmula similar é a seguinte:

 Derivada da função inversa.
A inversa da função y(x) é a função x(y):

Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas.
 

 









Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.
 
Derivada do logaritmo natural.Derivada do logaritmo em outras bases.

Exponencial.



 
Definição da função logarítmica com base a > 0:
 

Derivadas das funções hiperbólicas e suas inversas.
 












Definições das funções trigonométricas:

Derivadas de alta ordem 
Seja y = f(x). Temos:
A segunda derivada é dada por:

A terceira derivada é dada por:

A enésima derivadaé dada por:

 
Em alguns livros, a seguinte notação também é usada:

Integrais definições e suas aplicações
A analisarmos a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais ummétodo do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguidacomo funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.
Integrais indefinidas
Da mesma forma que a adição e a  subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.
Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ouantiderivada de f(x).

Exemplos:
1. Se  f(x) = , então é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .
   
2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3.
   
3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.
   
Nosexemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é  x3+C, onde C é uma constante real.
 
 Propriedades das integrais indefinidas.
 São imediatas as seguintes propriedades:
1ª.    , ou seja, a integral da soma ou...
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