DERIVADA DA EXPONENCIAL 23 28 1

CÁLCULO II

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Curso de Engenharia

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Prof. José Norberto Reinprecht

DERIVADA DA FUNÇÃOEXPONENCIAL
1. FUNÇÃO EXPONENCIAL
1.1 Definição

f ( x)  a x , definida para

Definimos unção exponencial de base a, ( a>0 e a1 ), como sendo todo x real.
Graficamente,

1.2 Propriedades das potências

a0  1

P1.

P2.

P4.

(a m ) n  a m n

P7.

a n 

1 an P5.
P8.

a m . a n  a m n

P3.

am
 a mn n a

( a b ) n  a nb n

P6.

a an ( )n  n b b

a

m n  n am

Exemplos:
2 4

a)

5 .5  5

c)

(34 ) 2 .  34.2  38

2

4

5

6

25
53
 23
b) 3  2
2
4 4
4
4
d) 3 .5  (3.5)  15

( prop. P2 )
( prop. P4 )

5

6
6
 ( ) 5  35
( prop. P6 )
5
2
2
1 2
3 2
2
g) ( )  ( )  3  9 ( prop. P7 )
3
1
e)

f)

2
3

h) 5 

3

i)

4

23  2 4

2 3 

( prop. P8 )

23

1 1

23 8
3

5 2  3 25

( prop. P3 )
( prop. P5 )
( prop. P7 )
( prop. P8 )

Cálculo II

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Prof. José Norberto Reinprecht

2. LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL .
1
x

lim (1  x)  e x0 sendo e um número irracional, denominado número de Euler, com valor decimal aproximado de
2,7182818 .
A demonstração da obtenção deste limite requer conhecimentos de cálculo avançado.
1

Mostraremos, através das tabelas abaixo, que o comportamento da função

f ( x)  (1  x) x é de se

aproximar do número e, quando os valores de x estiverem próximos do 0 .
Tabela dos valores de x se aproximando de 0 pela esquerda (valores menores que 0 )

x

- 0,5

- 0,1

- 0,01

- 0,001

- 0,0001

...

4

2,86797

2,73199

2,71964

2,71814

...

X

0

1

f ( x)  (1  x) x

e 2,71828

1

lim (1  x) x  e

Logo,

x0

Tabela de valores de x se aproximando de 0 pela direita.

x

1

0,5

0,1

2

2,25 2,59374

0,01

0,001

0,0001

...

2,70481

2,71692

2,71814

...

x

0

1

f ( x)  (1  x) x

1

Logo,

E portanto,

lim (1  x) x  e

x0

a lim

x0

1 x (1  x)  e x

Podemos dizer que para valores “pequenos” de x, temos x Assim,

1

 x x
(
1

x
)

 e



(1  x)1  e x
Logo,

ex  1 x
24

1 x (1  x)  e

E 2,71828