Cônicas

Geometria Analítica - Cônicas
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é:

Hipérbole Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.
Observação: Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

focos: os pontos F1 e F2 vértices: os pontos A1 e A2 centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c distância focal: eixo real: eixo imaginário: Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Como c > a, temos e > 1. Equações Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0)
F2 ( c, 0) Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ou. Nessas condições, a equação da hipérbole é:

Hipérbole equilátera Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semieixos real e imaginário são iguais:

a = b
Assíntotas da hipérbole Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. Quando o eixo real é horizontal, o