Convolução

Processamento Digital de Sinais

Convolução
Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

Função delta e resposta a impulso
[ n]
2 1 0 -1 -2 1 0 1 2 3 4 5 6 2 1 0 -1 2 -1 0 1 2 3 4 5 6

h [n ]

Sistema

Função delta ou impulso unitário

Resposta a impulso: saída de um sistema quando aplicamos um impulso na entrada.

Resposta a impulso
Se dois sistemas são diferentes de alguma forma, eles irão ter respostas a impulso diferentes. Assim, a resposta a impulso caracteriza completamente um sistema. Geralmente utiliza-se a notação h[n] para a resposta a impulso.

Representação de impulsos a partir da função delta
Qualquer impulso pode ser representado como uma versão deslocada e escalonada da função delta. Exemplo: a[n]: sinal composto somente de zeros, exceto a amostra 8, que tem amplitude -3. Podemos escrever então a [ n ]=−3 [ n−8]

A resposta de um sistema h[n] a este sinal de entrada será então: y [ n ]=−3 h[ n−8]

Conclusão: se conhecemos a resposta a impulso de um sistema, temos condições de calcular a resposta deste a qualquer impulso na entrada.

Resumindo ...

Se

[ n]

Sistema

h [n ]

Então −3 [ n−8]

Sistema

−3h [ n−8]

Convolução

É uma operação matemática formal, assim como a soma. Soma: toma dois números e gera um terceiro. Convolução: toma dois sinais para gerar um terceiro. Notação: y [ n ]= x [ n ]∗h [ n]

Aplicação a Sistemas Lineares
O sinal de saída é o resultado da convolução do sinal de entrada com a resposta a impulso do sistema. h[n] pode ter outros nomes dependendo da aplicação: filtragem: kernel do filtro ou simplesmente kernel processamento de imagem: função de espalhamento de ponto (point spread function).

Exemplo1: filtragem passa-baixas

*

=

x [ n]

h[n]

y[n]

N=81 amostras M=31 amostras N+M-1=111 amostras

Exemplo2: filtragem passa-altas

*

=

x [ n]

h[n]

y[n]

N=81 amostras M=31 amostras N+M-1=111 amostras

Matemática da convolução
Podemos estudar a