Conjuntos finitos

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Conjuntos Finitos, Enumer´veis e N˜o-Enumer´veis a a a

´ MODULO 1 - AULA 3

a Aula 3 – Conjuntos Finitos, Enumer´veis e N˜o-Enumer´veis a a
Metas da aula: Apresentar a defini¸ao de conjunto finito e de n´mero c˜ u
de elementos de um conjunto finito. Definir conjunto enumer´vel e conjunto a n˜o-enumer´vel. a a

Objetivos: Ao final desta aula, vocˆ dever´ ser capaz de: e a
• Saber o significadoe o uso da defini¸ao matem´tica de conjunto finito c˜ a bem como demonstrar fatos simples envolvendo esse conceito; • Saber o significado e o uso da defini¸ao matem´tica de conjunto enuc˜ a mer´vel bem como demonstrar fatos simples envolvendo esse conceito. a

Conjuntos Finitos e Infinitos
O Produto Interno Bruto (PIB) dos Estados Unidos da Am´rica, no ano e de 2005, foi calculado em12.452.000.000.000 (doze trilh˜es, quatrocentos e o cinq¨enta e dois bilh˜es) de d´lares e o do Brasil, no mesmo ano de 2005, u o o foi calculado em 795.000.000.000 (setecentos e noventa e cinco bilh˜es) de o d´lares. Essas estimativas deram aos EUA e ao Brasil, respectivamente, a 1a o e a 11a posi¸ao na classifica¸ao das maiores economias do mundo. c˜ c˜ O fato para o qual queremos chamar aten¸ao aqui n˜o temnada a ver c˜ a com economia. O ponto que queremos ressaltar ´ que, no nosso dia-a-dia, por exemplo, e na leitura de um jornal, podemos nos deparar com n´meros t˜o grandes que u a nenhum ser humano na face da Terra seria capaz de contar 1, 2, 3,. . . , at´ e chegar a eles, sem saltar nenhum n´mero intermedi´rio, simplesmente porque u a seriam necess´rios centenas ou milhares de anos para fazˆ-lo,estimando-se a e que lev´ssemos, digamos, em m´dia, 1/2 segundo para recitar cada um deles. a e Mesmo assim, vocˆ n˜o hesitaria em afirmar prontamente que os n´meros e a u referentes aos PIBs citados representam quantidades finitas, seja l´ o que isso a realmente signifique em ultima instˆncia. ´ a O fato ´ que a no¸ao de conjunto finito ´ extremamente primitiva, e o ser e c˜ e humano criou sistemasnum´ricos capazes de representar qualquer quantidade e finita muito antes de se preocupar em obter uma defini¸ao matem´tica precisa c˜ a do que venha ser conjunto finito. Muito ao contr´rio, a defini¸ao que se a c˜
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CEDERJ

Conjuntos Finitos, Enumer´veis e N˜o-Enumer´veis a a a

´ ANALISE REAL procurou dar em tempos muito mais recentes (h´ menos de um s´culo e meio) a e tinha, diante de si, odesafio de possibilitar a demonstra¸ao matem´tica de c˜ a fatos absolutamente evidentes para o senso comum como, por exemplo, o de que “a uni˜o de uma quantidade finita de conjuntos finitos ´ um conjunto a e finito”. Afinal, temos certeza de que um trilh˜o ´ uma quantidade finita a e porque sabemos que um trilh˜o corresponde a mil grupos de um bilh˜o de a a elementos e, por sua vez, um bilh˜ocorresponde a mil grupos de um milh˜o, a a que por sua vez corresponde a mil grupos de mil etc. Por ora basta; vamos a defini¸ao matem´tica. ` c˜ a ca Defini¸˜o 3.1

1. Dizemos que o conjunto vazio ∅ tem 0 elementos. 2. Se n ∈ N, dizemos que um conjunto A tem n elementos se existe uma bije¸ao do conjunto Jn := {1, 2, . . . , n} sobre A. Se A tem n elementos, c˜ dizemos que n ´ a cardinalidade de A edenotamos, n = #(A), ou e n = card(A). 3. Um conjunto ´ dito finito se, ou ´ vazio, ou tem n elementos para e e algum n ∈ N. 4. Um conjunto A ´ dito infinito se ele n˜o ´ finito. e a e Como a inversa de uma bije¸ao ´ uma bije¸ao, segue que o conjunto c˜ e c˜ A tem n elementos se e somente se existe uma bije¸ao de A sobre Jn . Do c˜ mesmo modo, como a composis˜o de duas bije¸oes ´ uma bije¸ao, temos que ac˜ e c˜ um conjunto A tem n elementos se e somente se existe uma bije¸ao de A sobre c˜ um outro conjunto B que possui n elementos. Al´m disso, um conjunto C ´ e e finito se e somente se existe uma bije¸ao de C sobre um conjunto D que ´ c˜ e finito. Uma vez apresentada a defini¸ao matem´tica do que venha ser um c˜ a conjunto ter n elementos ´ preciso, antes de mais nada, que se verifique a e unicidade...
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