Capitulo 7e 6 calculo b

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Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 – 244.

CAPÍTULO 7

7.6 - EXERCÍCIOS pág. 241 -244
1. Calcular

 f  x, y 
R

dx dy , onde:

a) f x, y   x e xy

; R é o retângulo : 1  x  3; 0  y  1.

xe
1 0 1 03 1

xy

dy dx
1

xy x xy  x e dy  e  e  1 0

 e
3 1

x

 1 dx  e x  x  e3  e1  3  1  e3  e  2
3 1

b) f  x, y   y e xy

; R é o retângulo : 0  x  3; 0  y  1.
3 1

 y e
0 0

1 3

xy

dx dy   e
0

1

xy

0

dy  
0



1 1 1 4 1 e  1 dy   e3 y  y   e3  1   e3  .   3 3 3 3 0 3
3y



1

c) f x, y   xcos xy ; R é o retângulo : 0  x  2; 0  y 



2

.

  x cos xy
0 0

2 2

dy dx x 2 2  2 4   cos  2  cos 0     1  1   2   



 x cos xy
0

2

dy  sen xy 0 dx  2

 /2

 sen

 sen 2 x
0

2







 cos


2

x



2


0

d) f x, y   y ln x ; R é retângulo : 2  x  3; 1  y  2. 342

Resolução dosexercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 – 244.

  y ln x
1 2

2 3

dx dy

 ln x

dx   du  1 dx x

u  ln x dv  dx

v   dx  x  c 1 dx  x ln x  x x

 ln x  ln x
2 2 1 3

dx   ln x   x   x 
3 2

dx   x ln x x   3 ln 3  3  2 ln 2  2  3 ln 3  2 ln 2  1 dy   3 ln 3  2 ln 2  1  3  3 ln 3  2 ln 2  1 . 2 y2 2
1 2

 y  3 ln 3  2 ln 2  1

4 1   3 ln 3  2 ln 2  1      2 2

e) f x, y  

1 x y

; R é o quadrado : 1  x  2; 1  y  2.

 x y
1 1 2

2 2

1

dx dy
2 1


1 2 1

dx  ln x  y x y

 ln 2  y  ln 1  y dy

  ln 2  y  ln1  y 
 ln 2  y  dy
u  ln 2  y  dv  dy

Resolvendo as integrais temos:
  du  1 dy 2 y

v   dy  y  c 1 dy

 ln 2  y  dy  ln 2  y   y   y  2  y
 y ln 2  y    y dy 2 y

 2   y ln 2  y    1   2  y  dy     y ln 2  y   y  2 ln 2  y .

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Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções devárias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 – 244.

Assim,

 ln  2  y 
1 2 1

2

dy   y ln  2  y   y  2 ln  2  y   4 ln 4  3 ln 3  1
1 2

2

 ln 1  y  dy  y ln 1  y   y  ln 1  y   3 ln 3  2 ln 2  1
1


1 2 1

2

dx  4 ln 4  3 ln 3  1  3 ln 3  2 ln 2  1  4 ln 4 6 ln 3  2 ln 2 x y dy  4 ln 4  6 ln 3  2 ln 2  10 ln 2  6 ln 3.

  4 ln 4  3 ln 3  2 ln 2 

2. Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes: a)

  2 x  4 y  dy dx
0 x

1 2x

Temos que: x  y  2x  0  x  1 Veja gráfico a seguir.
y 2 1 x -1 -1 -2 1 2

2x

2   2 x  4 y  dy   2 xy  4  y    2  x   8 x3  . 3 0 3
12x

 2 x  2 x  x   2 4 x 2  x 2  2 x 2  6 x 2  8x 2 .
x





2  8x dx  8 0

1

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b)

  xy
2 y 0 y

2

 x dx dy



Temos que:  y  x y  0  y  2 Veja gráfico a seguir.
y 2

1 x -2 -1 -1 1 2

y 2



y

 y2 2 1 x2 x2  xy 2  x dx   y 2 y  y2  y2  y2  0    2 2  2 2    y

y











0
0

dy  0

c)

 x
1 ln x

e 1

dy dx

Temos que: ln x  y  1  1  x  e Veja gráfico a seguir.

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