Calculo3

Anhanguera Educacional - 2º semestre - 2012
Bibliografia adotada: (PLT) Hughes-Hallett; Gleason; McCallum et al. Cálculo de uma variável. 3ª ed Rio de Janeiro: LTC, 2002.

INTEGRAIS INDEFINIDAS

Até aqui preocupamos essencialmente com o problema: dada uma função, achar a sua derivada.

Mas, em muitas aplicações

importantes do cálculo envolvem o problema inverso: dada a derivada de uma função, determinar a função. Por exemplo, um físico que conhece a velocidade de um corpo em movimento e queira determinar a posição do corpo num dado instante; um pesquisador que conheça a taxa de aumento de uma determinada população e queira prever a população num instante futuro.
O processo de obtermos uma função a partir de sua derivada é chamada de integral indefinida ou antiderivação.

PRIMITIVAS

Uma primitiva para uma função f=f(x) é uma outra função
F=F(x) cuja derivada coincide com f, isto é, F'(x)=f(x). Pode ser que existam várias primitivas para uma mesma função f.

Exemplos: Algumas primitivas para a função f(x) = 2x são
F (x) = x2 é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois (x2) ’ = 2x
G (x) = x2+3 é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois (x2 + 3) ’ = 2x
H (x) = x2-5 é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois (x2 - 5) ’ = 2x

OBSERVAÇÕES
1. Todas as primitivas de ƒ (x) = 2x são da forma: F (x) = x2 + c, onde c é uma constante qualquer.
2. Uma função ƒ (x) admite infinitas primitivas que diferem entre si por uma constante. Portanto, se F (x) é uma primitiva da função ƒ(x), então qualquer outra primitiva de ƒ (x), tem a forma: G (x) = F
(x) + C .

O gráfico abaixo apresenta quatro primitivas da função ƒ (x) = 2x .

DEFINIÇÃO DA INTEGRAL INDEFINIDA

O conjunto das infinitas primitivas F (x) + C de uma função ƒ (x) é chamado de integral indefinida da função ƒ(x), e denotado por:

Portanto:

[F(x) + C]´ = f(x)

Notações: ∫ : símbolo de integração
F(x): integrando dx : diferencial e

indica que a primitiva é

calculada em x.
C :