derivadas parciais calculo3

As notas de aula nestas dez transparências são baseadas em larson;
Hostetler; Edwards: Cálculo: volume 2. 2006. p. 303 a 322
Consulta também em Howard, A.: Cálculo - um novo horizonte. V ol. 2. 1999. p. 323 a 330 e 332 a 338. y Funções contínuas
Função contínua de uma variável: f(x) é contínua em x0 є D(f) se

x função contínua para todo x

Função descontínua em x = 1

Função descontínua em x = 2

y

y



y = f(x)





 x 2

x
















assíntota vertical x=2 







Disco aberto e disco fechado
Na reta:
• intervalo fechado [a, b] = {x є R, a ≤ x ≤ b}
• intervalo aberto

]a, b[ = {x є R, a < x < b}

No plano cartesiano:
• Disco aberto de raio δ

[/////////////////////] a b

x

]/////////////////////[ a b

x

y δ (x,y)

y0

{(x,y) є R2, d((x,y) e um ponto (xo,yo)) < δ x0 • Disco fechado de raio δ
{(x,y) є R2, d((x,y) e um ponto (xo,yo) ≤ δ

x

y δ y0

x0

x

• (x0, y0) é ponto interior de R se existir um disco aberto centrado em (x0, y0) inteiramente contida em R.
• Se todos os pontos de R são interiores então R é uma região aberta
• (x0, y0) é ponto de fronteira de R se todo disco aberto centrado em (x0, y0) contém pontos em R e pontos fora de R.
• Se uma região contém todos os seus pontos de fronteira então R é uma região fechada. y Ponto de fronteira
Fronteira de R

y

Ponto interior
R é uma região fechada

x

R é uma região fechada

x

Função contínua de duas variáveis: f(x,y) é contínua em um ponto (x0 ,y0) de uma região aberta R (contida no seu domínio) se

A função f é contínua na região R se é contínua em todos os pontos de R e é contínua em seu domínio se ela é contínua em todos os pontos do domínio.
Quando f não é contínua em (x0, y0) ela é descontínua em (x0,y0)

Exemplo:
Exemplo:
Não é contínua em (0,0)

z

x

A função é contínua para todo
(x,y) є R2

z

y

x

y

Não existe f(0,0)

Obs.: Quando a função é descontínua em (x0 ,y0), mas o limite da função existe e é igual a L, a descontinuidade é chamada
removível.