Calculo

Instituto Superior T´ ecnico Departamento de Matem´ atica `
Sec¸c˜
ao de Algebra e An´ alise ´
1o TESTE DE CALCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL I
(TESTE TIPO)
1o SEM. 2009/10

˜
DURAC
¸ AO:
1H30M

1. (1,5 val.)
a) Represente na forma de um intervalo, ou de uma uni˜ao disjunta de intervalos o conjunto seguinte:
A = {x ∈ R : 3 |x − 1| < |2x − 5|}.
b) Indique, caso existam em R, o supremo, ´ınfimo, m´aximo e m´ınimo do conjunto
A da al´ınea anterior.

2. (1,5 val.) Calcule: log x
a) limx→0+ √ ; x b) limx→+∞

sen (log x)
;
x

c) limx→0+ sen

x
3

1 log x

.

3. (1,5 val.) Calcule a derivada das fun¸c˜oes definidas pelas seguintes express˜oes: arctan (1 + ex )
;
1−x
√
b) x log (3 + cosh(x/2)).
a)

4. (1,5 val.) Recorrendo ao m´etodo de indu¸c˜ao, mostre que a derivada de ordem n da
´e dada por fun¸ca˜o log 1−x
2
dn log dxn

1−x
2

=−

(n − 1)!
, ∀ x < 1 (n ∈ N).
(1 − x)n

5. (3 val.) Considere a fun¸c˜ao f : [−2, 1] → R definida por
 1

se −2 ≤ x < −1;
e x+1 , f (x) =

 log(x + 2) , se −1 ≤ x ≤ 1.
a) Mostre que f ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua.
b) Mostre que f n˜ao ´e diferenci´avel no ponto −1.
c) Indique, justificando, se f tem m´aximo e/ou m´ınimo. Em caso afirmativo, determine-os. d) Seja g : R → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que g(0) = 1 e g (0) = 3. Calcule o valor de (f ◦ g) (0).

6. (1 val.) Seja g : R → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que limx→+∞ g(x) = L ∈ R.
Mostre que se limx→+∞ g (x) existe ent˜ao ´e igual a zero.
˜ o: Aplique o Teorema de Lagrange a intervalos da forma [x, x + 1].
Sugesta