Calculo

Decomposi¸ao em Fra¸oes Parciais c˜ c˜
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´tica-ICEx a Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi 18 de abril de 2004

Sum´rio a 1 Introdu¸˜o ca 2

2 g (t) tem somente Ra´ ızes Reais Simples

2

3 g (t) tem somente Ra´ ızes Simples

3

4 g (t) tem somente Ra´ ızes Reais

7

5 Caso Geral

10

1

2

1

G(T ) TEM SOMENTE RA´
IZES REAIS SIMPLES

2

Introdu¸˜o ca Considere a fra¸ao racional c˜ F (t) =

f (t) g (t)

em que f (t) e g (t) s˜o polinˆmios com coeficientes reais e tais que o grau de f (t) ´ menor a o e do que o grau de g (t). Vamos supor que g (t) possa ser decomposto da seguinte forma: g (t) = (t − a 1 ) n 1 . . . (t − a k ) n k (t 2 + b 1 t + c 1 ) m 1 . . . (t 2 + b l t + c l ) m l , com ai ∈ R distintos, para i = 1, . . . , k e (bi , ci ) ∈ R2 distintos tais que b2 − 4ci < 0, para i i = 1, . . . , l .

2

g (t) tem somente Ra´ ızes Reais Simples

Vamos supor que o denominador g (t) pode ser escrito na forma g (t) = (t − a 1 ) · · · (t − a k ), com ai ∈ R distintos, para i = 1, . . . , k .
Vamos determinar escalares α1 , . . . , αk tais que k αi f (t)
=
F (t) = g (t) t − ai i=1 α1 αk =
+ ··· +
.
t − a1 t − ak

(1)

Multiplicando-se a equa¸ao acima por g (t) obtemos c˜ k

f (t) =

α i p i (t) = α 1 p 1 (t) + · · · + α k p k (t),

(2)

i=1

em que p i (t) =

g (t)
=
t − ai

(t − a r ), r=i para i = 1, . . . , k .
Decomposi¸ao em Fra¸oes Parciais c˜ c˜

18 de abril de 2004

3
Substituindo-se t = ai , para i = 1, . . . , k , em (2) obtemos f (a i ) = α i p i (a i ) de onde obtemos αi , para i = 1, . . . , k .
Exemplo 1.
H (t) =

1
1
A
B
C
=
=+
+
t (t2 + 3t + 2) t(t + 1)(t + 2) t t+1 t+2

Multiplicando H (t) por t (t2 + 3t + 2) obtemos
1 = A(t + 1)(t + 2) + Bt(t + 2) + Ct(t + 1)
Substituindo-se t = 0, −1, −2 obtemos

 1 = 2A
1 = −B

1 = 2C