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Nota de aula: propaga¸ao de onda em meios dissipativos c˜
Jess´ Costa e Maio de 2009

Equa¸˜o da onda em 1-D em meios dissipativos ca
Em um meio cont´ ınuo unidimensional, a equa¸˜o que governa a propaga¸˜o de ondas mecˆnicas resulta ca ca a de duas Leis F´ ısicas. A primeira ´ a segunda Lei de Newton descrevendo o movimento das part´ e ıculas do meio em fun¸˜o das for¸as de itera¸˜o queatuam em cada part´ ca c ca ıcula. A segunda ´ uma rela¸˜o constitutiva e ca descrevendo as for¸as de intera¸˜o entre as part´ c ca ıculas do meio em fun¸˜o da configura¸˜o e movimento ca ca relativo das part´ ıculas. Nesta nota, estas equa¸˜es s˜o proposta a partir de um sistema de part´ co a ıculas em uma dimens˜o que interagem atrav´s de molas e amortecedores. a e Considere um sistema de part´ıculas idˆnticas, de massa m, que interagem atrav´s de um arranjo de e e molas e amortecedores. A Figura 1 indica duas poss´ ıveis configura¸˜es para um par mola-amortecedor. co Na primeira, no topo, a mola e o amortecedor est˜o associados em paralelo. Na segunda, a mola e o a amortecedor est˜o associados em s´rie. No estado de repouso, as part´ a e ıculas est˜o equidistantes, a distˆncia a a entrepart´ ıculas adjacentes ´ a. Neste modelo, cada part´ e ıcula pode ser identificada pela sua posi¸˜o no estado ca de equil´ ıbrio. Por exemplo, a i−´sima part´ e ıcula ocupa a posi¸˜o xi . Fora da configura¸˜o de equil´ ca ca ıbrio, o campo u(xi , t), representa o deslocamento de cada part´ ıcula em rela¸˜o a sua posi¸˜o de equil´ ca ca ıbrio. A intera¸˜o entre duas part´ ca ıculas ´ descrita pelo campode tens˜o σ(xi+1/2 , t) que representa a for¸a que e a c atua entre duas part´ ıculas adjacentes. A partir da segunda lei de Newton [5], a equa¸˜o que rege o movimento da i−´sima part´ ca e ıcula ´ e m ∂ 2 u(xi , t) = σ(xi+1/2 , t) − σ(xi−1/2 , t) . ∂t2 (1)

Figura 1: Configura¸˜o para mola e amortecedor para o modelo de Kelvin-Voigt (topo) e para o modelo de ca Maxwell (abaixo). Cada uma dasconfigura¸˜es indicada na figura 1 determina uma rela¸˜o entre o campo de tens˜o, co ca a σ(xi+1/2 , t), e o campo de deslocamento u(xi , t). Quando a mola e o amortecedor est˜o em paralelo, modelo a de Kelvin-Voigt, cada elemento reage ao deslocamento relativo entre as massas nas suas extremidades exercendo uma for¸a, c σmola (xi+1/2 , t) = k [u(xi+1 , t) − u(xi , t)] e σamort (xi+1/2 , t) = b [u(xi+1 ,t) − u(xi , t)] . ˙ ˙ A intera¸˜o entre estas duas part´ ca ıculas neste caso ´ a soma destas duas for¸as e c σ(xi+1/2 , t) = σmola (xi+1/2 , t) + σamort (xi+1/2 , t) ou seja, σ(xi+1/2 , t) = k [u(xi+1 , t) − u(xi , t)] + b [u(xi+1 , t) − u(xi , t) .] ˙ ˙ (2)

1

No arranjo em s´rie de mola e amortecedor, modelo de Maxwell, o deslocamento relativo entre as e part´ ıculas ´ a soma dadeforma¸˜o da mola com a deforma¸˜o que ocorre no amortecedor. A for¸a que e ca ca c atua na mola e no amortecedor ´ a mesma. Nestas condi¸˜es, a velocidade relativa entre as part´ e co ıculas i e i + 1 depende do campo de for¸a σ(xi+1 , t) na forma [5] c u(xi+1 , t) − u(xi , t) = ˙ ˙ σ(xi+1/2 , t) σ(xi+1/2 , t) ˙ + . k b (3)

Campos de tens˜o e deslocamento em meios cont´ a ınuos
As equa¸˜es quegovernam o campo de deslocamento e o campo de tens˜o para um meio cont´ co a ınuo s˜o obtidas a no limite em que a distˆncia entre as part´ a ıculas, a, ´ muito menor que o comprimento de onda associado a e estes campos. Na avalia¸˜o deste limite pressup˜em-se que as seguintes propriedades do meio s˜o finitas [5]: ca o a i) densidade linear de massa, m ; a→0 a

ρ = lim ii) o m´dulo deincompressibilidade, o

K = lim ka ;
a→0

iii) a viscosidade, η = lim ba .
a→0

A equa¸˜o de movimento, primeira equa¸˜o fundamental, ´ obtida dividindo os dois membros da equa¸˜o ca ca e ca (1) por a e avaliando do limite quando a → 0: ρ ∂σ ∂ 2 u(x, t) = . ∂t2 ∂x (4)

A equa¸˜o de movimento ´ uma vers˜o da segunda Lei de Newton para um meio cont´ ca e a ınuo. Esta equa¸˜o ca ´ independente do...
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