Calculo

Nota de aula: propaga¸ao de onda em meios dissipativos c˜
Jess´ Costa e Maio de 2009

Equa¸˜o da onda em 1-D em meios dissipativos ca
Em um meio cont´ ınuo unidimensional, a equa¸˜o que governa a propaga¸˜o de ondas mecˆnicas resulta ca ca a de duas Leis F´ ısicas. A primeira ´ a segunda Lei de Newton descrevendo o movimento das part´ e ıculas do meio em fun¸˜o das for¸as de itera¸˜o que atuam em cada part´ ca c ca ıcula. A segunda ´ uma rela¸˜o constitutiva e ca descrevendo as for¸as de intera¸˜o entre as part´ c ca ıculas do meio em fun¸˜o da configura¸˜o e movimento ca ca relativo das part´ ıculas. Nesta nota, estas equa¸˜es s˜o proposta a partir de um sistema de part´ co a ıculas em uma dimens˜o que interagem atrav´s de molas e amortecedores. a e Considere um sistema de part´ ıculas idˆnticas, de massa m, que interagem atrav´s de um arranjo de e e molas e amortecedores. A Figura 1 indica duas poss´ ıveis configura¸˜es para um par mola-amortecedor. co Na primeira, no topo, a mola e o amortecedor est˜o associados em paralelo. Na segunda, a mola e o a amortecedor est˜o associados em s´rie. No estado de repouso, as part´ a e ıculas est˜o equidistantes, a distˆncia a a entre part´ ıculas adjacentes ´ a. Neste modelo, cada part´ e ıcula pode ser identificada pela sua posi¸˜o no estado ca de equil´ ıbrio. Por exemplo, a i−´sima part´ e ıcula ocupa a posi¸˜o xi . Fora da configura¸˜o de equil´ ca ca ıbrio, o campo u(xi , t), representa o deslocamento de cada part´ ıcula em rela¸˜o a sua posi¸˜o de equil´ ca ca ıbrio. A intera¸˜o entre duas part´ ca ıculas ´ descrita pelo campo de tens˜o σ(xi+1/2 , t) que representa a for¸a que e a c atua entre duas part´ ıculas adjacentes. A partir da segunda lei de Newton [5], a equa¸˜o que rege o movimento da i−´sima part´ ca e ıcula ´ e m ∂ 2 u(xi , t) = σ(xi+1/2 , t) − σ(xi−1/2 , t) . ∂t2 (1)

Figura 1: Configura¸˜o para mola e amortecedor para o modelo de Kelvin-Voigt (topo) e para o modelo de ca Maxwell (abaixo). Cada uma das