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Equações Diferenciais Ordinárias
ISIG 2002

Eng. de Sistemas Decisionais Eng. de Informática

Vasco A. Simões

Análise Infinitesimal III Parte II – Equações Diferenciais Ordinárias

Vasco Simões © 2002 ISIG/COCITE

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Análise Infinitesimal III Parte II – Equações Diferenciais Ordinárias

Vasco Simões © 2002 ISIG/COCITE

ÍNDICE Pag. 1. Introdução 2. Equações Diferenciais dePrimeira Ordem. Equações diferenciais de variáveis separáveis Equações diferenciais exactas Factor Integrante Equações diferenciais lineares Mudança de variável Equação de Bernoulli 3. Equações Diferenciais Lineares de Ordem n Equações Homogéneas de Coeficientes Constantes Equações não Homogéneas de Coeficientes Constantes 3.2.1. Soluções Particulares 3.2.2. Variação das constantes 3.3. Equação deEuler 3.4. Redução de ordem conhecendo uma solução particular Apêndice 1 – Soluções Singulares Apêndice 2 – Exercícios variados Apêndice 3 – Aplicações Apêndice 4 – Soluções e indicações sobre os Exercícios e Aplicações dos Apêndices 2 e 3. 27 32 33 38 42 45 49 51 53 6 10 14 20 22 24 3

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Análise Infinitesimal III Parte II – Equações Diferenciais Ordinárias

Vasco Simões © 2002 ISIG/COCITE1. INTRODUÇÃO

Muitos problemas reais envolvem derivadas. Uma equação onde figurem derivadas é chamada Equação Diferencial. Se nela figuram Derivadas Parciais é chamada Equação Diferencial Parcial, caso contrário diz-se Equação Diferencial Ordinária. Neste capítulo vamos estudar alguns métodos para a resolução de muitas equações diferenciais ordinárias que ocorrem em variadíssimos problemasreais. Vejamos alguns exemplos: A segunda lei de Newton para partículas de massa constante tem a forma vectorial r r F = ma r r r dv d 2r Se escrevermos a aceleração na forma , onde v é a velocidade, ou na forma onde dt d t2

r r é o vector de posição, obtemos uma equação diferencial (ou um conjunto de equações
diferenciais, uma para cada componente do vector). A taxa à qual o calor Q escapaatravés de uma janela é proporcional à área e à taxa de variação da temperatura T com a distância na direcção do fluxo de calor. Temos então dQ dT = kA dt dx ( k é chamada condutividade térmica e depende do material). A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que nela figura. Assim, as equações

y ′ + xy 2 = 1 xy ′ + y = e x dv = −g dt L dI + RI = V dt
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Análise InfinitesimalIII Parte II – Equações Diferenciais Ordinárias são equações de primeira ordem, e m é de segunda ordem. d 2r = − kr dt 2

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A solução de uma equação diferencial ( com variáveis x e y ) é a relação entre essas variáveis que, substituída na equação, a transforma numa identidade. Por exemplo, a relação

y = sin x + 3 é solução da equação diferencial y ′ = cos x ,uma

vez que se substituirmos a primeira relação na equação obtemos a identidade cos x = cos x . Repare-se no entanto que

y = sin x + 123

ou

y = sin x − 42 são também solução da

equação diferencial proposta, isto é, em geral, a solução de uma equação diferencial não é única.

EXERCÍCIO

Verifique se y = e x ,

y = e−x ,

y = Ae x + Be − x são ou não soluções da equaçãodiferencial

y′ = y

2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem envolvem a função y ( x) , a variável x e a primeira derivada y ′( x) , são pois equações do tipo:

f ( x, y , y ′ ) = 0

Este tipo de equações dividem-se em dois grandes grupos, a saber;



Equações resolvidas, se é possível explicitar y ′ em função de x e de y

5 Análise Infinitesimal III Parte II – Equações Diferenciais Ordinárias Por exemplo:

Vasco Simões © 2002 ISIG/COCITE

3 x y ′ + 3 y = x 3 que se pode escrever na forma y′ = x2 y − 3 x



Equações não resolvidas, se tal não é possível, como por exemplo no caso y ′ 2 + x 2 e y′ = x y

Comecemos por estudar o caso das equações resolvidas, que se podem portanto escrever na forma y ′ = f...
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