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CAPÍTULO 1
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NÚMEROS REAIS
Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses conjuntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais. Neste 1 2 capítulo, vamos analisar oconjunto dos números reais. Enunciaremos os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades.
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto
N = {1, 2, 3, ...}.
Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dosnúmeros naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por Z={0,±1,±2,±3,...}.
2
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos:
Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}.
Finalmente encontramos números que não podem serrepresentados na forma mln, n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por
1? = Qu Q'
A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedadesreferentes ao conjunto dos números reais.
No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:
1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado
por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto.
a-b=b-a.
1.1.2 Comutatividade. Se a, be R entãoa+b=b+a e 1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então
a + (b + c) = (a + b) + c e a (b c) = (a•b) • c.
-
1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então
a• (b + c) = ab + ac.
1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a
e a • 1= a, para qualquer a E R.
Números reais
3
1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotadopor —a,
tal que a + (—a) = O.
1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por
1 1/a, tal que a • — = 1. a Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.
1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida
por a — b = a + (—b).
a 1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb O, o quociente de a e b édefinido por —
= a
b•
1.2 DESIGUALDADES
Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, devemos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.
1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto
denominado de números positivos, tal que: (i) (ii) se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo; — a épositivo; a soma de dois números positivos é positiva;
(iii) o produto de dois números positivos é . positivo.
1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo. 1.2.3 Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos:
(i) (ii) a < b b — a é positivo; a > b .:;=> a — b é positivo.
4
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1.2.4 Ossímbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos:
(i) (ii) a 5_ b a < b ou a =-- b; a ba>boua=b.
Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESIGUALDADES. ab são desigualdades estritas enquanto a ^ bea b são desigualdades não estritas.
1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N.
(i) (ii) Sea>b eb>c, então a > c. Se a>bec> O, então ac > bc....
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NÚMEROS REAIS
Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses conjuntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais. Neste 1 2 capítulo, vamos analisar oconjunto dos números reais. Enunciaremos os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades.
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto
N = {1, 2, 3, ...}.
Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dosnúmeros naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por Z={0,±1,±2,±3,...}.
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Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos:
Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}.
Finalmente encontramos números que não podem serrepresentados na forma mln, n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por
1? = Qu Q'
A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedadesreferentes ao conjunto dos números reais.
No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:
1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado
por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto.
a-b=b-a.
1.1.2 Comutatividade. Se a, be R entãoa+b=b+a e 1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então
a + (b + c) = (a + b) + c e a (b c) = (a•b) • c.
-
1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então
a• (b + c) = ab + ac.
1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a
e a • 1= a, para qualquer a E R.
Números reais
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1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotadopor —a,
tal que a + (—a) = O.
1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por
1 1/a, tal que a • — = 1. a Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.
1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida
por a — b = a + (—b).
a 1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb O, o quociente de a e b édefinido por —
= a
b•
1.2 DESIGUALDADES
Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, devemos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.
1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto
denominado de números positivos, tal que: (i) (ii) se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo; — a épositivo; a soma de dois números positivos é positiva;
(iii) o produto de dois números positivos é . positivo.
1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo. 1.2.3 Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos:
(i) (ii) a < b b — a é positivo; a > b .:;=> a — b é positivo.
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Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1.2.4 Ossímbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos:
(i) (ii) a 5_ b a < b ou a =-- b; a ba>boua=b.
Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESIGUALDADES. ab são desigualdades estritas enquanto a ^ bea b são desigualdades não estritas.
1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N.
(i) (ii) Sea>b eb>c, então a > c. Se a>bec> O, então ac > bc....
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