Calculo vetorial

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Sendo A(1,2,4) e B(1,6,4), calcule as coordenadas de um ponto P tal
PA/PB= -1/3

Resolução:

PA/PB= -1/3 => 3 (PA) ⃗ = - (PB) ⃗ A (1,2,4) B(1,6,4) P(x,y,z)

(PA) ⃗ = A – P => (1,2,4) – (x,y,z) = (1 - x, 2 - y, 4 - z)

(PB) ⃗ = B – P => (1,6,4) – (x,y,z) = (1 - x, 6 - y, 4 - z)

3(1 - x, 2 - y, 4 - z) = - (1 - x, 6 - y, 4 - z)
(3 – 3x, 6 – 3y, 12- 3z) = (x- 1, y - 6,z - 4)

3 – 3x = x – 1 => - 4x = - 4 => x = 1
6 - 3y = y – 6 => - 4y = - 12 => y = 3
12 – 3z = z – 4 => - 4z = - 16 => z = 4

R: P( 1,3,4)


Escreva o vetor v ⃗ = (8,11) como combinação linear dos vetores u ⃗ = (2,1) e w ⃗ = (1,4). ( v ⃗ = m.u ⃗ + n.w ⃗ )

Resolução:

(8,11) = m (2,1) + n (1,4) R: n = 2 e m = 3
(8,11) = (2m,m) + (n,4n)
(8,11) = (2m + n , m, 4n){█(2m+n=8 @ m+4n=11 . (-2))┤

{█(2m+n=8 @-2m-8n=-22 )┤
- 7n = -14 => n= 2
2m+n=8 => 2m + 2 = 8 => 2m = 6 => m = 3




Sejam os pontos A(1,2,2) e B(2,5,5). Determine o ponto médio do segmento AB.
Resolução:
A (1,2,2) B(2,5,5) M(x,y,z)
xm = Ax + Bx = (1+2)/2 = 3/2 ym = Ay + By = (2+5)/2 = 7/2 zm = Az + Bz = (2+5)/2 = 7/2
R: m (3/2 ,7/2 ,7/2)

Calcule os valores de a para vetor v ⃗ = (12,a-6) tenha modulo 20.
Resolução:
|v ⃗| = 20 |v ⃗| = √(a^2+b^2 ) ∆ = b² - 4ac
|v ⃗| = √(12²+(a-6)²) ∆ = (-12)² - 4.1.(- 120)
20 = √(144 -) 4²-12a+36 ∆ = 144 + 880
20 = √(a²-12a+180) ∆ = 1024
(20)² = (√(a²-12a+180) )²400 = a² -12a + 180)
a² - 12ª – 220 = 0

x=(-(-12) ± √1024)/(2 .1) => x=(12 ± 32)/2 => x'=(12 + 32)/2 => x'=44/2 => x’ = 22
x"=(12 - 32)/2 => x"=(-20)/2 => x” = - 10
R: A = 22 ou - 10






Até que ponto P o segmento de extremos A(-2,-3) e B(4,5) deve ser prolongado no sentido AB, para que seucomprimento seja triplicado?



A B P


(AP) ⃗ = 3 AB P = 3(4,5) – 2(- 2,- 3)
P – A = 3 ( B – A) P = (12,15) + (4,6)
P – A = 3B – 3A P = (16,21)
P = 3B – 3A + A
P = 3B – 2ª

R: P(16,21)Os vetores u ⃗ = (x,3) e v ⃗ = (1,9) tem a mesma direção. Determine o valor de x.

Resolução:

x/1=3/9=>9x=3=>x= 3/9=>x=1/3

R: x=1/3

Calcule o modulo dos seguintes vetores:

v ⃗ = ( - 3, 4);

Resolução:

|v ⃗| = ( - 3, 4)

|v ⃗| = √((- 3)^2+4²)

|v ⃗| = √(9+16)

|v ⃗| = √25

R: |v ⃗| = 5



u ⃗ = ((- 3)⁄5,4⁄5)

Resolução:

|u ⃗| = ((- 3)⁄5,4⁄5)

|u ⃗|= √((- 3)⁄(5² )+4⁄5²)

|u ⃗| = √(9⁄25,16⁄25)

|u ⃗| = √(25⁄25)

|u ⃗| = √1

R: |u ⃗| = 1

m ⃗ = (2,- 2,0)

Resolução:

|m ⃗| = (2,- 2,0)

|m ⃗| = √(2²+(- 2)^2+0²)

|m ⃗| = √(4+4)

|m ⃗| = √8

|m ⃗| = √2³

R: |m ⃗| = 2√2

n ⃗ = (- 2 ,-2,1)

Resolução:

|n ⃗| = (- 2,-2,1)

|n ⃗| = √(( -2)^2+(-2)²+1²)

|n ⃗| = √(4+4+1)

|n ⃗| = √9

R: |n ⃗| = 3
Calcule overso dos seguintes vetores:

v ⃗ = (- 1,2,- 2)

Resolução:

v ⃗⁄(|v ⃗|)=((- 1,2,- 2))⁄√((-1)^2+2^2+(-1)^2 )
v ⃗⁄(|v ⃗|)=((- 1,2,- 2))⁄√(1+4 +4)
v ⃗⁄(|v ⃗|)=((- 1 ,2 ,- 2))⁄√9
v ⃗⁄(|v ⃗|)=((- 1 ,2 ,- 2))⁄3

R: Verso de v ⃗ = ((-1)⁄3,2⁄3,(-2)⁄3)

w ⃗ = (- 1,2,- 2)

Resolução:
w ⃗⁄(|w ⃗|)=((1,2,1))⁄√(1^2+2^2+1^2 )
w ⃗⁄(|w ⃗|)=((1,2,1))⁄√(1+4+1)
w ⃗⁄(|w ⃗|)=((1,2,1))⁄√6R: Verso de v ⃗ = (1⁄√6,2⁄√6,1⁄√6)











m ⃗ = (6,8)

Resolução:

m ⃗⁄(|m ⃗|)=((6,8))⁄√(6²+8²)
m ⃗⁄(|m ⃗|)=((6,8))⁄√(36+64)
m ⃗⁄(|m ⃗|)=((6,8))⁄√100
m ⃗⁄(|m ⃗|)=((6,8))⁄10
m ⃗⁄(|m ⃗|)=((3,4))⁄5

R: Verso de m ⃗ = (3⁄5,4⁄5)
Achar no eixo das abcissas(x) um ponto M cuja distancia ao ponto N(2,- 3) seja 5.

Resolução:

|(mn) ⃗| = 5
(mn) ⃗ = n – m = ( 2, - 3) –...
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