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C´lculo Num´rico — Fundamentos e Aplica¸˜es a e co
Claudio Hirofume Asano Eduardo Colli Departamento de Matem´tica Aplicada – IME-USP a 9 de dezembro de 2009

2

Sum´rio a
I Sistemas Lineares
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

911 11 11 12 13 15 16 17 18 21 21 24 29 30 31 31 32 33 37 37 38 40 41

1 Exemplos de aplica¸˜es de sistemas lineares co 1.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2 Provetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Petr´leo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4 Cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Interpola¸˜o polinomial . . . . . .. . . . . . . . ca 1.6 Outros problemas de determina¸˜o de polinˆmios ca o 1.7 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . .

2 O M´todo de Escalonamento e 2.1 O m´todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 O determinante no M´todo de Escalonamento . . .. e 2.4 A desvantagem da Regra de Cramer . . . . . . . . . 2.5 Sistemas mal-condicionados e refinamento de solu¸˜o ca 2.5.1 Sistemas mal-condicionados . . . . . . . . . . 2.5.2 Matrizes de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Refinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M´todos iterativos e 3.1 O M´todo de Jacobi . . . e 3.2 Crit´rio das Linhas . . . . e 3.3 Crit´rio de parada . . . . e3.4 O M´todo de Gauss-Seidel e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

Ajuste de Fun¸˜es co

47
49 49 50 50

4 Ajuste de fun¸˜es co 4.1 O problema do ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Os m´ ınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.3 Parˆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3

4 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 Densidade . . . . . . . . . Caten´ria . . . . . . . . . a Naftalinas e fun¸˜es afins co Decaimento exponencial . Leis de potˆncia e fractais e Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ SUMARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 52 52 53 54 55 59 59 60 61 62 64 65 66 66 68 71 71 73 74 75 77 77 79 81 81 84

5Fun¸˜es lineares nos parˆmetros co a 5.1 Dependˆncia linear dos parˆmetros . . . . . . . . e a 5.2 Cont´ ınuo vs. discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Um parˆmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5.4 Dois parˆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5.5 Ajuste de qualquer fun¸˜o linear nos parˆmetros ca a 5.6 O caso cont´ ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Exemplos . ....
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