Calculo numerico

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Cálculo Numérico IV

Teoria de erros, Resolução numérica de equações algébricas e transcendentes, Interpolação polinomial, Interpolação numérica

Teoria dos Erros

Erros nas aproximações numéricas:
Na aplicação de métodos numéricos para obtenção da solução de problemas físicos, nem sempre fornece valores que se encaixam dentro de limites razoáveis. Várias são as origens da inexatidão dasoperações numéricas. Os erros podem se caracterizar como fortuitos ou sistemáticos.

Fortuitos: são provenientes de variações acidentais ocorridas durante o processo de medições.
Sistemáticos: são inerentes ao próprio sistema, devido a falta de precisão do equipamento.

Uso de dados inexatos exemplo: [pic]
Números aproximados: No estudo de um cálculo aproximado é conveniente fazerdistinção entre números que são absolutamente exatos, e os números que representam valores aproximados. Os números tais como 5, 1/4, 233 são exatos porque não há nenhuma aproximação ou incerteza associada a ele. Por outro lado embora números tais como [pic]sejam exatos, não podem ser expressos corretamente em um número finito de dígitos e sim como (3,14), (1,41) que constituem aproximações dos valoresexatos, sendo neste motivo números aproximados. Pelo exposto acima podemos definir número aproximado como sendo uma representação de um valor exato, sendo a diferença entre os dois bem pequena.

Algarismos significativos de um número:
Chamamos de algarismos significativos como sendo qualquer um dos dígitos numéricos de 1 a 9 (1,2,3...9). O zero também constitui um algarismo significativoexceto nos casos em que é usado para fixar a posição do ponto decimal ou preencher casas decimais de dígitos desconhecidos ou desprezados.
Zero (0) é significativo exceto se for fixador do ponto decimal ou for usado para preencher casas decimais. Exemplo: 1,354 (4 significativos), 0,159 (3 significativos), 0,060 (1 significativo)

Observação: O zero a direita do algarismo 6 em (0,060) não pode serconsiderado algarismo significativo pois não sabemos sua origem.

Forma normalizada de um número.
Chama-se de forma normalizada de um número, a representação na forma de potência, como exemplo 0,1214.10t, onde temos 4 algarismos significativos.

Arredondar X Truncar

A= 1,39

Aa=1,4 ; um significativo exato no arredondamento

At=1,3; dois significativos exatos no truncamentoTipos de Erros:


A) Erro Absoluto
Chamamos de erro absoluto cometido na representação do valor exato A* por um fator aproximado A, o módulo da diferença entre ambos. Erro absoluto [pic], erro absoluto só compara medidas homogêneas. Considerando-se B* =3,141592 e B=3,14 (sua aproximação com 3 algarismos significativos), o seu erro absoluto será [pic]
B) Erro RelativoO erro relativo tem por finalidade dar uma idéia do grau de influência do erro no valor desejado; o erro absoluto não traduz este efeito se não soubermos a ordem de grandeza do valor calculado.
O erro relativo será [pic], como exemplo para B*=3,141592 o seu erro relativo será:[pic]
1º Exemplo: Medindo-se a distância entre o ponto A e B encontramos d = 1,52 m, medindo-se a pressãonesses 2 pontos em A encontramos Pa = 4,01 Kg/cm2 e em Pb = 3,98 Kg/cm2. Sabendo-se que a distância entre A e B é de 1,5m e que a pressão em A é igual em B que é 4,0 Kg/cm2. Qual o instrumento de maior precisão?


Valores Medidos: d = 1,52 m, Pa = 4,01 Kg/cm2, Pb = 3,98 Kg/cm2
Valores Reais: dab = 1,5 m, Pa = Pb = 4,0 Kg/cm2
Calculando: [pic]; [pic]
[pic]; [pic][pic]; [pic]
logo a resposta do exercício será o barômetro A com maior precisão.

Teoria dos Erros:
Se o erro relativo (A cometido na aproximação de um valor exato A* por um valor aproximado A for menor do que uma cota de um erro de referência: [pic]então o número A contém N algarismos significativos exatos, ou no mínimo o erro absoluto associado será menor que meia unidade no enézimo...
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