Calculo ii

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Instituto de Matem´tica
a
´
SEGUNDA PROVA DE CALCULO II
Professor: Hugo D. Fern´ndez Sare.
a

Turma: IQA-NTA / 2012-1.

GABARITO
Quest˜o 1.(2,5 pontos)
a
Determine, justificando, os pontos de continuidade e descontinuidade da fun¸˜o
ca

x2 y 3
 sen

,
(x, y ) = (0, 0)
2x2 + y 2
f (x, y ) =


1
,
(x, y ) = (0, 0).

Solu¸˜o.ca
Primeiro, para (x, y ) = (0, 0), a fun¸˜o f (x, y ) ´ a composi¸˜o da fun¸˜o seno (que ´
ca
e
ca
ca
e
x2 y 3
cont´
ınua) com a fun¸˜o racional 2
ca
onde o denominador nunca se anula (logo ´ cont´
e
ınuo).
2x + y 2
Assim, f (x, y ) ´ cont´
e
ınua em todo ponto (x, y ) = (0, 0).
Vejamos o caso (x, y ) = (0, 0). Como a fun¸˜o seno ´ cont´
ca
e
ınua, devemos estudar o limiteseguinte
x2 y 3
.
lim
(x,y )→(0,0) 2x2 + y 2
x2
≤ 1. Assim
2x2 + y 2

Vejamos, note que x2 ≤ 2x2 + y 2 , logo 0 ≤
x2 y 3
2x2 + y 2

=⇒

−y 3 ≤

x2 y 3
≤ y3.
2x2 + y 2

Logo, usando o Teorema do Confronto, teremos que
lim

(x,y )→(0,0)

x2 y 3
2x2 + y 2

=0

=⇒

lim

(x,y )→(0,0)

sen

x2 y 3
2x2 + y 2

= sen (0) = 0 = 1 = f (0, 0).

Portanto f (x, y ) n˜o´ cont´
ae
ınua em (0, 0).
Quest˜o 2.(2,5 pontos)
a
Seja S a superf´ definida pela equa¸˜o
ıcie
ca
z + 1 = xey cos(z ).
1. Calcule a equa¸˜o do plano tangente ` superficie S no ponto (1, 0, 0).
ca
a
2. Calcule a equa¸˜o da reta normal ` superf´ S no ponto (−π − 1, 0, π ).
ca
a
ıcie
Solu¸˜o.
ca
A superf´ S est´ definida pela equa¸˜o
ıcie
a
ca
F (x, y, z ) = xey cos(z ) − z − 1. Logo, teremos que
F (x, y, z ) = (ey cos(z ), xey cos(z ), −xey sen (z ) − 1) , ∀(x, y, z ) ∈ IR3 .
1. Note que
equa¸˜o
ca

F (1, 0, 0) =

1, 1, −1 . Ent˜o a equa¸˜o do plano tangente ser´ dada pela
a
ca
a

( x, y, z − 1, 0, 0 ). 1, 1, −1 = 0

isto ´ x + y − z = 1.
e

2. Note que F (−π − 1, 0, π ) = −1, π + 1, −1 . Ent˜o a equa¸˜o da reta normal ser´ dada
a
ca
a
pelaequa¸˜o
ca

 x = −π − 1 − t


y = (π + 1)t
(t ∈ IR),
x, y, z = −π − 1, 0, π + t −1, π + 1, −1 isto ´
e


 z = π−t
ou, na sua forma sim´trica
e
x + (π + 1)
y
z−π
=
=
.
−1
π+1
−1

Quest˜o 3.(2,5 pontos)
a
A temperatura em um ponto (x, y, z ) ´ dada por
e
T (x, y, z ) = 200e−x

2 −3y 2 −9z 2

onde T ´ medido em ◦ C e x, y , z em metros.
e
1. Determine a taxa devaria¸˜o da temperatura no ponto P (2, −1, 2) em dire¸˜o ao ponto
ca
ca
(3, −3, 3).
2. Qual ´ a dire¸˜o de maior crescimento da temperatura em P ?
e
ca
3. Encontre a taxa m´xima de crescimento em P .
a
Solu¸˜o.
ca
1. Vejamos o vetor dire¸˜o no ponto P na dire¸˜o do ponto Q(3, −3, 3):
ca
ca


v = Q − P = (1, −2, 1) , logo ||v || = 1 + 4 + 1 = 6.
Al´m disso,
e
T = −400e−x

2 −3y 2−9z 2

(x, 3y, 9z ).

Portanto a taxa de varia¸˜o no ponto P ser´ dada por Du T (2, −1, 2), isto ´
ca
a
e
400
10400
Du T (2, −1, 2) = − √ e−43 (2, −3, 18).(1, −2, 1) = − √ e−43 .
6
6
2. A taxa de maior crescimento ocorre na dire¸˜o do vetor gradiente de T , isto ´, na dire¸˜o
ca
e
ca
T (2, −1, 2) = −400e−43 (2, −3, 18),
ou, simplificando as constantes positivas, na dire¸˜o do vetor u= (−2, 3, −18).
ca

3. A taxa de m´ximo crescimento ´ dada por
a
e
|| T || = 400e−43


22 + (−3)2 + 182 = 400e−43 337.

Quest˜o 4.(2,5 pontos)
a
Seja f (x, y, z ) = 2x + 6y + 10z definida no disco D = { (x, y, z ) ∈ IR3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 35 }.
1. Determine os pontos cr´
ıticos de f (x, y, z ) no interior de D.
2. Usando o m´todo de Multiplicadores de Lagrange, determine ospontos de m´ximo e
e
a

ınimo de f (x, y, z ) na fronteira de D.
3. Determine os m´ximos e m´
a
ınimos absolutos de f (x, y, z ) no disco D.
Solu¸˜o.
ca
1. O interior do disco est´ dado pelo conjunto
a
int(D) = { (x, y, z ) ∈ IR3 : x2 + y 2 + z 2 < 35 }.
Alem disso, como a fun¸˜o ´ cont´
ca e
ınua, os pontos cr´
ıticos est˜o determinados pela equa¸˜o
a
ca
f = (0, 0, 0). Mas...
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