Calculo ii

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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA

CÁLCULO II

TUBARÃO 2012
UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA-UNISUL
PROFESSOR: Adalberto
Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo II

- COMPRIMENTO DE ARCO DE CURVA
- AREA DE SUPERFICIE DE REVOLUÇÃO
- MOMENTO DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM

Acadêmicos:

Bruno Barreiros
Dayane Pereira Luiz
Juliano Ramos
Wanderléia MayIntrodução:
É usual nos cursos de gradução em engenharia civil, principalmente nas disciplinas de cáculo, falar-se nas superfícies de revolução, comprimento de arco de curva e momento de primeiro e segunda ordem. A razão é que tais superficies e gráficos são muitos uteis para a construção de exemplos, esclarecendo muitos conceitos importantes da teoria. Curvas e superfícies são importantes emdiversas áreas tanto na criação de objetos sintéticos quanto na visualização de fenômenos científicos. O estudo de curvas é a base na geração de formas mais simples ou objetos complexos, assim como para todo estudo de superfícies.





















COMPRIMENTO DE ARCO E SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO

Dividindo um arco em varias partecom distancias iguais, a soma de todas essas distâncias é uma aproximação do comprimento total do arame. Evidentemente, quanto mais próximos uns dos outros estiverem os pontos, melhor a aproximação.
Seja f suave em [a,b]. O Comprimento do arco do gráfico de f de A(a,f(a)) a B(bf(b)) é:
Lab=ab1+f'x2 dx
Se uma função f é definida implicitamente por uma equação em x e y, então também estaremosreferindo-nos ao comprimento de arco do gráfico da equação.
Uma função f é parcialmente suave em seu domínio se o gráfico de f pode decompor-se em um número finito de partes, cada uma das quais é o gráfico de uma função suave. O comprimento do arco do gráfico é então definido como a soma dos comprimentos dos arcos parciais.

Adotamos a letra t como a variável de integração.
Lab=ab1+f't2 dtUtilizamos também s(x) como o comprimento do arco, ficando:
s(x)=ax1+f't2 dt

Se s é função comprimento de arco, a diferencial ds=s’(x)dx é chamada diferencial do comprimento de arco
Seja f uma função não-negativa em todo um intervalo fechado [a,b]. Fazendo-se o gráfico f girar em torno do eixo-x obtém-se uma superfície de revolução.
Se f é suave e f(x)≥0 em [a,b], então a área S dasuperfície gerada pela revolução do gráfico de f em toro do eixo-x é:
S=ab2πf(x) 1+f'x2 dx
Se f é negativa para algum x em [a,b], então podemos usar a seguinte extensão da definição anterior para achar a área da superfície S:
S=ab2π|fx1+f'x2 dx

Exemplo: ( anexo )

MOMENTOS E CENTROS DE MASSA

Quando falamos em momentos e centros de massa, estamos nos referindo a massa de umobjeto. O peso é determinado pela força da gravidade. Por exemplo, o peso de um objeto na Lua é aproximadamente um sexto de seu peso na Terra, porque a força da gravidade lá é menor. Mas a massa é a mesma.
Newton usou o termo massa como sinônimo de quantidade de matéria e relacionou-o com a força através de sua segunda lei do movimento, F=m.a, onde F denota a força que atua sobre um objeto demassa m que tem aceleração a.

Quando admitimos que a massa de um objeto esteja concentrada em um ponto, dizemos que esse objeto possui uma massa pontual, independente do seu tamanho. Para colocarmos dois corpos com massas pontuais definidas em equilíbrio e com distancias diferentes, temos que a achar o ponto x.
Para encontrar o ponto de equilíbrio, o produto da massa de um objeto e suadistancia do ponto x deve ser igual ao produto da massa do outro objeto e sua distancia desse mesmo ponto. Podendo assim montar a seguinte função:
m1x- x1= m2(x2- x)
m1x+ m2x= m1x1+ m2x2
x= m1x1+m2x2m1+ m2

EXEMPLO 1: Três massas pontuais de 40,60 e 100 quilogramas estão localizadas em -2, 3 e 7, respectivamente, sobre um eixo-x. Determinar o centro da massa
R: Para encontrarmos o centro da...
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