Calculo II

Questão 1

Uma empresa que fabrica interruptores com o custo definido pela seguinte função : C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo.
Resposta
Parábola com concavidade voltada para cima.
Na função, os coeficientes são: a = 1, b = –80 e c = 3000
Quantidade de unidades vendidas para que o custo seja mínimo será dada por Xv.

Para que o custo seja mínimo, a empresa deverá produzir somente 40 unidades de interruptores.
Valor do custo mínimo será dado por Yv.

O valor do custo mínimo é de R$ 1 400,00.

Questão 2
Pretende-se estender um cabo de uma usina de geração de energia à margem de um rio de 900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?

Solução:

Inicialmente vejamos a ilustração gráfica do problema, a fim de facilitar a construção da função.

O objetivo é minimizar o custo do cabo.Logo, precisamos construir a função custo, a qual, baseada na figura acima é dada por:

Como x e 3.000 – x não podem ser negativos, a região de interesse (domínio do problema) é o intervalo [0, 3.000], onde devemos encontrar o mínimo absoluto de C. Para isso, iniciamos derivando C para encontrar seus pontos críticos:

Como o radicando e x são positivos, elevando os dois lados da equação ao quadrado, obtemos:

Como x deve ser positivo e 1.200 € [0, 3.000], segue que é o único ponto crítico de C, no domínio de interesse. Vejamos se é ponto de mínimo relativo:

Para todo x. Logo o ponto crítico x = 1.200 é ponto de mínimo relativo de C. Para saber se é mínimo absoluto precisamos comparar o valor de C neste ponto com os valores nos extremos do domínio. Assim, temos:
C(0) =