Calculo estrutural

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Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Departamento de Engenharia de Estruturas

An´lise Estrutural I a

Prof. Marco Antˆnio Mendon¸a Vecci o c Belo Horizonte, Abril de 1999

i

Conte´ do u

1 Energia 1.1 1.2 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ Energia de Deforma¸˜o e Energia Complementar . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2.11.2.2 1.3 1.4 Energia de deforma¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ Energia Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 5 7

Energia de Deforma¸˜o e Energia Complementar em Trˆs Dimens˜es . . . 10 ca e o Casos Especiais de Energia de Deforma¸ao e c˜ Energia Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5

Energia deDeforma¸˜o e Energia Complementar em Barras . . . . . . . . 18 ca 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 1.5.8 Treli¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 c Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Vigas–Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Barras Solicitadas por Tor¸ao . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 26 c˜ Energia Potencial Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Princ´ ıpios da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Primeiro Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Energia Potencial Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ii 1.5.9 Primeiro Teorema de Engesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49

1.5.10 Segundo Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.5.11 Os Teoremas da Reciprocidade de Rayleigh-Betti e de Maxwell . . . 57 1.5.12 Segundo Teorema de Engesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.5.13 Teorema de Castigliano do Trabalho M´ ınimo (Teorema de M´nabr´a) 71 e e 2 Trabalhos Virtuais 2.1 2.2 2.3 2.4 78

Trabalho Virtual em uma part´ ıcula .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Trabalho Virtual em corpos r´ ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Trabalho Virtual em Corpos Deform´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 a Trabalho Virtual Complementar em Corpos R´ ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.5

Trabalho Virtual Complementar em corpos deform´veis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 a

2.6

Trabalhos Virtuais em Sistemas Estruturais de Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.6.1 2.6.2 2.6.3 Treli¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 c Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Barrassolicitadas por tor¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 ca

A Integra¸˜o das Energias de Deforma¸˜o e Complementar em Trˆs Dica ca e mens˜es o 131

iii

Lista de Figuras

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Trajet´ria de uma part´cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ı Part´cula Sujeita ao Efeito do Campo Gravitacional . . . . . . . . . . . . . ı Energia de deforma¸˜o ecomplementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Estrutura com n˜o–linearidade geom´trica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e

2 3 6 9

For¸as externas superficiais e de massa sobre um corpo. . . . . . . . . . . . 11 c (a) Elemento de tra¸˜o simples. (b) Elemento sujeito `s tens˜es de cisaca a o lhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 1.81.9

Deslocamento ao longo de uma barra de treli¸a. . . . . . . . . . . . . . . . 19 c Treli¸a de duas barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 c (a) Linha el´stica, Momento de flex˜o e esfor¸o cortante ao longo de uma a a c viga. (b) Momento est´tico de uma se¸˜o transversal de viga qualquer. (c) a ca Momento est´tico de viga de se¸˜o retangular. . . . . . . . . . . . . ....
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