Calculo diferencial

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Capítulo 2
Derivada Direcional, Gradiente, Máximos e Mínimos

CÁLCULO 2 – PÁGINA 2

Produto escalar
O produto escalar é uma operação entre vetores que produz um escalar. Essa operação é bastante utilizada no cálculo de tamanhos ou ângulos entre vetores. O produto escalar pode ser calculado através de duas fórmulas, dependendo das informações disponíveis: • Se possuirmos as coordenadas dosvetores: Considere os vetores u = ( x u , y u ) e v = ( x v , y v ) . A fórmula que calcula o produto escalar entre esses vetores é dada por:

u ⋅ v = x u x v + yu yv • Se possuirmos os tamanhos dos vetores e o ângulo entre eles:
Considere que os vetores u , de tamanho u , e v , de tamanho v , formem um ângulo θ entre eles. O produto escalar entre esses vetores é dado por:

u ⋅ v = u v cos θPodemos utilizar a última fórmula para demonstrar que o produto escalar pode ser usado quando desejamos calcular o tamanho de um vetor, dispondo apenas das suas coordenadas. Fazendo o produto escalar do vetor u = ( x u , y u ) com ele mesmo:

u ⋅ u = u u cos 0 ∴ u ⋅ u = u

2

Observe que o ângulo entre o vetor u = ( x u , y u ) e ele próprio é zero já que os dois vetores estão na mesmadireção e sentido. O produto escalar que se encontra do lado esquerdo da igualdade pode ser calculado por u ⋅ v = x u x v + y u y v .

Uma rápida introdução sobre vetores e retas
Considere que desejamos encontrar a equação de uma reta r que passa pelo ponto

P = ( x 0 , y 0 ) e é paralela ao vetor u = (a , b) conforme mostra a figura:

PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) CÁLCULO 2 – PÁGINA 3 Desejamos encontrar neste momento as coordenadas de qualquer ponto A = ( x, y) sobre a reta r. Conforme as considerações iniciais, o vetor PA = ( x − x 0 , y − y 0 ) é paralelo ao vetor

u = (a , b) . Podemos então dizer que as coordenadas PA são múltiplas das coordenadas do vetor u :

PA = t u Substituindo as coordenadas de cada vetor: ( x − x 0 , y − y 0 ) = (at, bt ) Como osvetores são iguais, as suas coordenadas são iguais: x − x 0 = at e y − y 0 = bt Reorganizando: x = x 0 + at e y = y 0 + bt Essas expressões são chamadas de equações paramétricas da reta, pois ambas as equações dependem apenas do parâmetro t.
Vamos mostrar que se o vetor u for unitário (tiver tamanho igual a 1) então o vetor PA terá tamanho t. Os tamanhos dos vetores PA e u podem ser calculadosaravés dos seguintes produtos escalares:

PA
que PA = t u :

2

= PA ⋅ PA e u

2

= u⋅u

Podemos estabelecer a relação entre os tamanhos dos vetores PA e u , paralelos, sabendo
2 2 2

PA PA PA

= (t u) ⋅ (t u) = t 2 (u ⋅ u ) = t2 u
2

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da igualdade:

PA = t u
Só é possível que o vetor PA tenha tamanho t se o tamanho do vetor u forigual a 1, ou seja, se o vetor u for unitário. A função do vetor unitário u é indicar a direção da reta r, já que o seu tamanho unitário não influencia em nada os cálculos. Caso o vetor u não seja unitário basta normalizar o vetor, ou seja, tornar o seu tamanho igual a 1 dividindo o vetor pelo seu tamanho original:

u unitário =

u u

Derivada direcional
A derivada direcional é uma derivadaparcial especial calculada na direção de um vetor unitário u . A função da derivada direcional é medir a taxa instantânea de crescimento ou decrescimento de uma função num ponto ( x 0 , y 0 ) segundo a direção de um vetor u unitário. A ∂z . derivada direcional é representada pela derivada parcial ∂u

PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br)

CÁLCULO 2 – PÁGINA 4 A medida da taxainstantânea de crescimento ou decrescimento de uma função é dada pela inclinação da reta tangente à função no ponto ( x 0 , y 0 ) conforme mostra a figura a seguir:
Inclinação da reta tangente em ∂z ( x 0 , y 0 ) é dada por ∂u

PA = t

Na introdução do capítulo mostramos que se um ponto A = ( x, y) está sobre uma reta r, paralela a um vetor unitário u = (a , b) , então podemos afirmar que x e...
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