Avaliação à Distância- CEDERJ

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Algebra
I
AD1 - Primeira Avalia¸c˜ao a Distˆancia - Aulas 1 a 4

1a Quest˜ ao: (2,0 pontos) Decida se as demonstra¸co˜es abaixo est˜ao completas. Justifique detalhadamente as suas afirma¸c˜oes.
(a) (1,0 ponto) Em um certo livro texto o autor afirma que o gr´afico de uma fun¸ca˜o afim f
(isto ´e, f : R → R dada por f (x) = ax + b onde a e b s˜ao n´ umeros reais fixados) ´e a reta que passa por dois pontos do gr´afico de f . Como justificativa desta afirma¸ca˜o ele mostra que os pontos do gr´afico de f s˜ao colineares (isto ´e, est˜ao numa mesma reta).
Sugest˜ao: lembre-se que tanto a reta como o gr´afico de uma fun¸c˜ao f s˜ao conjuntos e use seus conhecimentos sobre igualdade de conjuntos

(b) (0,5 ponto) Para provar a afirma¸ca˜o “Todo n´ umero par maior que 2 e menor que 101 ´e a soma de dois n´ umeros primos” um matem´atico exibiu 49 exemplos de n´ umeros pares no intervalo considerado e escreveu cada um deles como a soma de dois n´ umeros primos.
(c) (0,5 ponto) Para provar a afirma¸c˜ao “Todo n´ umero par maior que 2 ´e a soma de dois n´ umeros primos” um matem´atico exibiu 250 exemplos de n´ umeros pares no intervalo considerado e escreveu cada um deles como a soma de dois n´ umeros primos.

2a Quest˜ ao: (2,0 pontos) Determine se a rela¸c˜ao R definida no conjunto de todas as p´aginas web ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia, onde xRy, se e somente se, todas as pessoas que visitam a p´agina web x tamb´em visitam a p´agina web y.

1

3a Quest˜ ao: (a) (1,5 ponto)Ache a f´ormula fechada para o produto
1−

1
2

1−

1
3

1−

1
4

... 1 −

1 n para todos os inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indu¸ca˜o matem´atica.
(b) (1,5 ponto) Ache a f´ormula fechada para a soma
1
1
1
+
+ ... +
1·3 3·5
(2n − 1) · (2n + 1) para todos inteiros n ≥ 1 e prove o seu resultado por indu¸ca˜o matem´atica.

4a Quest˜ ao: (a) (1,0 ponto) Explique detalhadamente como usar o resto da divis˜ao euclidiana para