Autovalores exercicio resolvido

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exercício Federal Rural do Semiárido-UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação Disciplina: Álgebra Linear Aluno(a):

Turno:

Manhã

Tarde

Noite

• •

Entregar dia 04/11(Turmas manhã e tarde) Entregar dia 05/11 (Turma noite)
a c b d = d b a c 1 0 , encontre: 0 0 , 0 0 −1 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 −2

1. Se T : M2×2 → M2×2 ,com T

(a) A matriz da transformação na base α = (b) O polinômio característico. (c) Os autovalores e autovetores

(d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor. Solução: (a) T T T T 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 −1 0 0 0 = = = = 0 0 0 −1 0 0 −2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 =0 =0 =0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0  0 0 0 0 −1 +0 +0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 0 −1 0 0 0 +0 −1 +0 −1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0− 0 0 +0 +0 1 2 +0 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 −2 0 −2 0 0 0 −2

0 −2

= −2

+0

+0

0  −1 [T ]α =  α  0 0 (b) Como o polinômio característico não depende e encontrar a matriz nesta base.  0  1 [T ] =   0 0 −λ 1 0 0 0 −λ 1 0 0 0 −λ 1 1 0 0 −λ

0 0 0 0 −1 0 1 0 −2

 −2 0   0  0

da base escolhida, vamos tomar abase canônica 0 0 1 0 −λ 1 0 0 0 0 1  1 0   0  0 0 0 −λ 0 1 0 0 −λ1 1 0 −λ

det

= −λ(−1)1+1

0 −λ 1 ⇒

+ 1(−1)2+1

−λ(1) · (−λ3 ) − 1(1) = 0 Polinômio característico: p(λ) = λ4 − 1.

λ4 − 1 = 0

1 -1

1 1 1

0 1 0

0 1 1

0 1 0

-1 0 p(λ) = λ4 − 1 = (λ − 1)(λ + 1)(λ − i)(λ + i).

(c) Temos apenas dois autovalores reais(−1 e 1) e dois complexos(i e −i), encontraremos apenas os autovetores reais. • Autovetores associados a λ = −1Voltando a matriz obtida no item a), se v = (x, y, z, w) são as coordenadas deste autovetor, temos       1 0 0 −2 0 x  x − 2w = 0    −1 −x + y = 0 ⇒ x = y 1 0 0  y   0  =     0 −1 1 0   z   0   −y + z = 0 ⇒ y = z  1  1 0 w − 2 z + w = 0 ⇒ z = 2w 1 0 0 −2 Ou seja, v = (x, x, x, x). 1 0 0 −1 v=x +x +x 0 0 0 0 • Autovetores associados a λ = 1:   −1 0 0 −2 x  −1 −1 0 0 y    0 −1 −1 0  z w 0 0 − 1 −1 2 Ou seja, v = (x, −x, x, − x ). 2 1 0 0 −1 v=x −x 0 0 0 0 0 1  0 0  0 0 0 −2 x x x x

+x

=

 0   0  =    0  0

  −x − 2w = 0   −x − y = 0 ⇒ x = −y  −y − z = 0 ⇒ y = −z  1  − 2 z − w = 0 ⇒ z = −2w 0 0 0 −2 x −x x −x 2

+x

0 1

0 0



x 2

=

(d) Tanto a multiplicidade algébrica quanto a geométrica de todos osautovalores é 1.

2. Ache os autovalores  2 0 1  0 2 0  (a)  12 0 3 0 −1 0 Solução: (a)

e autovetores correspondentes das matrizes:    0 1 3 −3 1  (b)  0 4 0    0 −3 3 1 0



2  0   12 0 2−λ 0 12 0 0 1 2−λ 0 0 3−λ −1 0 0 1 0 −λ

0 2 0 −1

 1 0 0 1   3 0  0 0 2−λ 0 1 0 3−λ 0 +(1)(−1)1+3 −1 0 −λ 0 12 0 2−λ 1 0 0 −1 −λ

= (2−λ)(−1)1+1

Daí, encontramos o polinômiocaracterístico: p(λ) = (λ2 − 2λ + 1)(λ2 − 5λ − 6) Os autovalores são 1, −1, 1 e 6. • Autovetores associados a 1: Se v = (x, y, z, t) é o autovetor, temos     x 1 0 1 0  0 1 0 1  y        12 0 2 0   z  =  t 0 −1 0 −1

 0 0   0  0



  x + z = 0 ⇒ x = −z = 0   y+t=0   12x + 2z = 0 ⇒ z = 0  −y − t = 0 ⇒ y = −t

v = (0, −t, 0, t) • Autovetores associados a −1:     0 x 3 0 1 0  0 3 0 1  y   0        12 0 4 0   z  =  0  0 −1 0 1 t 0   3x + z = 0   3y + t = 0 ⇒   12x + 4z = 0 ⇒ z = −3x  −y + t = 0 ⇒ y = t v = (x, 0, −3x, 0) • Autovetores associados a 6:  −4  0   12 0

   0 1 0 x −4 0 1  y    = 0 −3 0   z   −1 0 −6 t   −4x + z = 0   −4y + t = 0 ⇒  12x − 3z = 0 ⇒ z = 3x   −y − 6t = 0 ⇒ y = −6t v = (x, 0,3x, 0)

 0 0   0  0

(b)  1  0 −3  3 −3 4 0  3 1 ⇒ det 1−λ 0 −3 3 −3 4−λ 0 3 1−λ

(1 − λ)(4 − λ)(1 − λ) − 9(4 − λ)

= = =

(4 − 5λ + λ2 ) · (1 − λ) − 9(4 − λ) = 0 4 − 9λ + 6λ2 − λ3 − 36 + 9λ λ3 − 6λ2 + 32 = 0

Polinômio característico: p(λ) = λ3 − 6λ2 + 32. -2 1 -6 0 32 1 -8 16 0 λ3 − 6λ2 + 32 = (λ + 2)(λ2 − 8λ + 16) = (λ + 2)(λ − 4) Autovalores: -2 e 4. • Autovetores...
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