Algebra - s.l.zani

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´ Algebra Linear
S´ rgio Lu´s Zani e ı

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Sum´ rio a
1 Espacos Vetoriais ¸ 1.1 Introducao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 2 Subespacos Vetoriais ¸ 2.1 Introducao e Exemplos . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.2 Intersecao e Soma de Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ¸ 2.3 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı Combinacoes Lineares ¸˜ 3.1 Introducao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 3.2 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Exerc´cios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı Dependˆ ncia Linear e 4.1 Introducao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı Base, Dimens˜ o e Coordenadas a 5.1 Base . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5.2 Dimens˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5.3 Dimens˜ o de Soma de Subespacos Vetoriais a ¸ 5.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 3 7 7 12 13 15 15 17 20 23 23 24 27 31 31 34 35 37 37 38 41 45 47

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´ SUMARIO
Mudanca de Base ¸ 6.1 Introducao, Exemplos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 6.2 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı Exerc´cios Resolvidos – Uma Revis˜ o ı a Transformacoes Lineares ¸˜ 8.1 Introducao e Exemplos . . . . .. . . ¸˜ 8.2 O Espaco Vetorial L (U, V ) . . . . . ¸ 8.3 Imagem e N´ cleo . . . . . . . . . . . u 8.4 Isomorfismo e Automorfismo . . . . . 8.5 Matriz de uma Transformacao Linear ¸˜ 8.5.1 Definicao e Exemplos . . . . ¸˜ 8.5.2 Propriedades . . . . . . . . . 8.6 Exerc´cios Resolvidos . . . . . . . . . ı 8.7 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . ı 51 51 56 59 71 71 73 79 85 87 87 89 93 97 105 105 111114

7 8

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9Autovalores e Autovetores 9.1 Definicao, Exemplos e Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 9.2 Polinˆ mio Caracter´stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ı 9.3 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı

10 Diagonalizacao ¸˜ 115 10.1 Definicao e Caracterizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 ¸˜ ¸˜ 10.2Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 ı 11 Forma Canˆ nica de Jordan o 125 11.1 Exerc´cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 ı 12 Espacos Euclidianos ¸ 12.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Distˆ ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ˆ 12.4Angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt ¸˜ 12.7 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . 133 133 136 138 139 140 145 149

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