Aula Lei Dos Cossenos

Lei dos senos
Observe a situação a seguir:
Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio necessário para a instalação?
Pela necessidade de solucionar problemas relacionados a triângulos que não são retângulos, se desenvolveram formas de trabalhar com senos e cossenos de ângulos obtusos
(maiores que 90°).

O triângulo ABC da figura é escaleno.
O teorema de Pitágoras não pode ser utilizado, já que não temos hipotenusa nem catetos. Entretanto, traçando as alturas desse triângulo, obtêm-se diversos triângulos retângulos e, com base neles, torna-se possível deduzir outras relações, úteis na aplicação em quaisquer triângulos.

A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triângulo. No caso de triângulos retângulos, basta considerar sen 90° = 1.

Lei dos cossenos


“Teorema de Pitágoras” para um triângulo qualquer: obtusângulo, acutângulo ou retângulo. Exemplo


Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

Solução





cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5 a² = b² + c² - 2*b*c*cos α x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º) x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5) x² = 125 + 50 x² = 175
√x² = √175 x = √5² * 7 x = 5√7

Exercício

EXERCÍCIOS ESSENCIAIS

(UFBA)
As medidas dos lados de um

ABC formam uma progressão aritmética de razão igual a 1.

Determine a altura do ABC, relativa ao lado AB, sabendo que
^
AC < AB < BC e cos (ABC) =3
5
RESPOSTA:

TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER –
NO VESTIBULAR

EXERCÍCIOS ESSENCIAIS

(Unesp)
Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um disco circular de centro O. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto, que vamos denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por M, conforme a figura.

^

Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O do alvo é
PO = 10 cm, que a distância de P a M é PM