Trigomometria

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MATEMÁTICA APLICADA

TRIGONOMETRIA
Aulas 1 e 2
Prof.: Geraldo Luiz Carneiro Martins

ÂNGULOS
Da Geometria Plana sabemos que um ângulo é formado por um par de semi-retas de origem semino mesmo ponto. ponto.
r O s O A B

Ângulo: rÔs Lados: semi-retas Or e Os semiVértice: O

Ângulo: AÔB Lados: semi-retas OA e OB semiVértice: O

Quando dois ângulos formam 90º eles são =>COMPLEMENTARES 90º Quando dois ângulos formam 180º eles são => SUPLEMENTARES 180º

ÂNGULOS
Os ângulos podem ser classificados em: em:
s O r s
s

O

r
Ângulo agudo ( < 90º)

Ângulo nulo ( 0º) => r

s

s

O O r

r

Ângulo obtuso ( > 90º)

Ângulo reto ( 90º)

r O
Ângulo raso ( 180º)

s

TRIÂNGULO RETÂNGULO
Todo Triângulo retângulo apresenta um ângulo reto e dois ângulos agudos.agudos.

Teorema de Pitágoras

Triângulo Pitagórico

a =b +c

2

2

2

Em todo Triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. catetos.

TRIÂNGULO RETÂNGULO

TRIÂNGULO RETÂNGULO
Exemplo: Os catetos de um triângulo retângulo medem 8 cm e 6 cm. Quanto mede a hipotenusa? cm. Sendo um triângulo retângulo, usaremos Pitágoras: Teorema dePitágoras: a2 = b2 + c2 o

a2 = b2 + c2 => a2 = 82 + 62 a2 = 100 => a = 10
Exercícios:

=> a2 = 64 + 36

MATEMÁTICA APLICADA

TRIGONOMETRIA
Aulas 3 e 4
Prof.: Geraldo Luiz Carneiro Martins

TRIGOMOMETRIA
É o estudo das relações entre ângulos e lados dos triângulos retângulos. retângulos.
(Tri = três + gonos = ângulos + metron = medir)

Seu estudo é baseado na semelhança de triângulos.triângulos.
A A’

B

C

B’

C’

A

b a b b' = => = b' a' a a'
C

B

A’

c a c c' = => = c' a' a a'

B’

C’

b c b b' = => = b' c' c c'

A razão entre dois lados quaisquer de um triângulo não depende do tamanho deles, e sim, dos ângulos. ângulos.
a3 a2 a1 c1 c2 c3

o

α
b1 b2 b3

b1 b2 b3 = = = ... = constante a1 a2 a3

c1 c2 c3 = = = ... = constante a1 a2 a3b1 b2 b3 = = = ... = constante c1 c2 c3

Estas razões, constantes valor de α , são as

para

cada

Razões Trigonométricas
que são relações matemáticas que estabelecem dependências entre os ângulos e as medidas de um triângulo retângulo. retângulo.

Razões Trigonométricas
SENO: SENO: o seno de um ângulo é a razão entre o
cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. hipotenusa.
B a c

Cb

A

Considerando o ângulo agudo C temos: temos:

cateto oposto a C c Seno de C = = hipotenusa a

Razões Trigonométricas
COSSENO: COSSENO: o cosseno de um ângulo é a razão
entre o cateto hipotenusa. hipotenusa. adjacente ao
B a c

ângulo

e

a

C

b

A

Considerando o ângulo agudo C temos: temos:

cateto adjacente a C b Cosseno de C = = hipotenusa a

RazõesTrigonométricas
TANGENTE: TANGENTE: a tangente de um ângulo é a razão
entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. adjacente. B
a c

C

b

A

Considerando o ângulo agudo C temos: temos:

cateto oposto a C c Tangente de C = = cateto adjacente a C b

Exemplos:
• 1) Na figura dada, calcular sen x, cos x e tg x:
a 8 x 15

• 2) Na figura, calcular x, dados: sen α = 0,8 ; cos α= 0,6

e tg α = 0,75
20 α x

Resolução:
• 1) Primeiro; calculamos a hipotenusa: hipotenusa:
a 8 x 15

a 2 = 8 2 + 15 2 => a 2 = 289 a = 17

• Então:

8 8 senx = => senx = a 17
8 tgx = 15

15 15 cos x = => cos x = a 17

Resolução: • 2) Primeiro; é preciso decidir qual das três razões trigonométricas convém ao problema.
20 α x

- Observem que a hipotenusa é conhecida e que x éa medida do cateto adjacente a α. – Como hipotenusa e cateto adjacente são relacionadas pelo cosseno, temos: temos:

cos α = 0,6 x cos α = 20

x = 0,6 20

=>

x = 12
Exercícios:

Valores de Senos, Cossenos e Tangentes
Quando os ângulos agudos medem 30º: 30º
30º

l

l
h

l 3 2

l

l

60º

l 2
sen 30º = cos 30º =

l 3 2

l 2

l 2
tg 30º =

l
1 2
3 cos 30º...
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