Aula Derivadas

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UNICEUMA – UNIVERSIDADE CEUMA
CURSO: Administração
Carga Horária: 60h
Profª. Ma. Elda Sena

Administração
1

Cálculo I
Unidade IV – Derivadas

“Não se consegue nada sem o devido esforço”

Derivadas
• Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos
de seu domínio
• Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens


f(x1)

Δy
f(x0)


Δx
x0

x1
3

Derivadas
• Chamamos de taxa média devariação de f,
para x variando de x0 até x1, ao quociente

f ( x1 )  f ( x0 )
f

x
x1  x0

4

Exemplo1
• Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de
abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia
de 1 a 3). A taxa média de variação de f para
esses valores é:

f f (3)  f (1) 32  12


4
x
3 1
2
• Isso significa, que se x variar 2 unidades (a
partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezesmaior(Δf=4.ΔxΔf=8).
5

Exemplo1
Gráfico da função f(x)=x2



9

1


1

3

6

Exemplo2
• Seja f(x)=x2 e calculemos a taxa média de
variação a partir de um ponto genérico de
abscissa x0=x e um acréscimo também genérico
Δx.

Taxa Média de Variação=Derivada da Função

f f ( x  x)  f ( x) ( x  x)2  x 2 2 x  x  (x)2



 2 x  x
x
x
x
x
7

Exemplo2
• Assim, se quisermos a taxa médiade variação
a partir do ponto x=5 e com uma variação
Δx=3, o resultado será 2.5+3=13.

8

Exemplo3
• Suponhamos que um objeto seja abandonado a
2.000 m de altura e que a função f(t)=2.000-10t2
altura do objeto em relação ao solo, t segundos após
ele ser abandonado. Temos:
• f(0)=2.000 e f(5)=1.750

f  f ( x1 )  f ( x0 )
• Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto
caiu 250 m.
•Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos
seguintes o objeto caiu 750m.
9

Exemplo3
• Para uma mesma variação de t (5 segundos), a
variação de altura é diferente.
• A taxa média de variação da função representa
a velocidade média do objeto a cada intervalo
de tempo considerado.
• 1º intervalo: Velocidade média: f1   250  50m / s
5

• 2º intervalo: Velocidade média:

5

f 2  750

150m / s
5
5
10

Velocidade Instantânea
• Muitas vezes estamos interessados na velocidade de
um objeto num determinado instante (velocidade
instantânea)
• No exemplo considerado, calculemos a velocidade
instantânea para t=5 segundos.
• Para isso consideremos a velocidade média (taxa
média de variação) para amplitudes de variação de
tempo cada vez menores. Consideraremos o
intervalo [5; 5+Δt]:
11 Velocidade Instantânea
f(t)=2.000-10t2

para t=5 segundos

f f ( x  x)  f ( x)

x
x
f
f (5  x)  f (5)

t
x
f
[2000  10(5  t ) 2 ]  [2000  10(5) 2 ]

t
t
f
 100t  10(t ) 2

 100  10t
t
t
12

Velocidade Instantânea
• Calculemos a velocidade média para valores de
Δt cada vez menores:
Intervalo
[5;10]
[5;8]
[5;6]
[5;5,5]
[5;5,1]
[5;5,01]

Δt
5
3
1
0,5
0,1
0,01

Δf/Δt-150
-130
-110
-105
-101
-100,1
13

Velocidade Instantânea
• Notamos que a velocidade média está se
aproximando de -100 m/s. A velocidade
instantânea é o limite para o qual tende a
velocidade média quando o intervalo de tempo
tende a 0. Isto é, a velocidade instantânea no
ponto t=5 e dada por:
f
lim
 lim (100  10t )  100.
t 0 t
t 0
• Esse limite da taxa média de variação quando Δttende a zero é chamado de derivada da função
f(t) no ponto t=5.
14

Conceito de Derivada
• Derivada de uma Função num Ponto
– Seja f(x) uma função e x0 se existir e for finito, limite
dado por:
f ( x0  x)  f ( x0 )
df
dy
f
( x0 )  ( x0 )  f ( x0 )  lim  lim
.

x

0

x

0
dx
dx
x
x

– Ex.: Qual a derivada de f(x)=x2 no ponto x0=3?
f (3  x)  f (3)
(3  x) 2  32
f (3)  lim
 limx 0
x 0
x
x
6x  (x) 2
f (3)  lim
 lim (6  x)  6.
x 0
x 0
x
15

Conceito de Derivada
• Isso significa que um pequeno acréscimo Δx
dado a x, a partir de x0=3, acarretará um
correspondente acréscimo Δf que é
aproximadamente 6 vezes maior que o
acréscimo Δx.

16

Função Derivada
• É a derivada calculada num ponto genérico x.
• Exemplo: Qual a função derivada de f(x)=x2?...
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