Aula Derivadas

UNICEUMA – UNIVERSIDADE CEUMA
CURSO: Administração
Carga Horária: 60h
Profª. Ma. Elda Sena

Administração
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Cálculo I
Unidade IV – Derivadas

“Não se consegue nada sem o devido esforço”

Derivadas
• Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos de seu domínio
• Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens
●

f(x1)

Δy f(x0) ●
Δx
x0

x1
3

Derivadas
• Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de x0 até x1, ao quociente

f ( x1 )  f ( x0 )
f

x
x1  x0

4

Exemplo1
• Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é:

f f (3)  f (1) 32  12


4
x
3 1
2
• Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezes maior(Δf=4.ΔxΔf=8). 5

Exemplo1
Gráfico da função f(x)=x2

●

9

1

●
1

3

6

Exemplo2
• Seja f(x)=x2 e calculemos a taxa média de variação a partir de um ponto genérico de abscissa x0=x e um acréscimo também genérico
Δx.

Taxa Média de Variação=Derivada da Função

f f ( x  x)  f ( x) ( x  x)2  x 2 2 x  x  (x)2



 2 x  x
x
x
x
x
7

Exemplo2
• Assim, se quisermos a taxa média de variação a partir do ponto x=5 e com uma variação
Δx=3, o resultado será 2.5+3=13.

8

Exemplo3
• Suponhamos que um objeto seja abandonado a
2.000 m de altura e que a função f(t)=2.000-10t2 altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos:
• f(0)=2.000 e f(5)=1.750

f  f ( x1 )  f ( x0 )
• Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m.
• Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m.
9

Exemplo3
• Para uma mesma variação de t (5 segundos), a variação de altura é diferente.
• A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado.
• 1º intervalo: Velocidade média: f1   250  50m / s
5

• 2º intervalo: Velocidade média:

5

f 2  750

